複素数は、実数 (a, b) の順序付きペアです。したがって、複素数のセットは実数のセットの拡張です。すべての複素数は、代数形式または標準形式と呼ばれる a + bi の形式で書くことができます。ここで、a は実数部、bi は虚数部と呼ばれます。加算、減算、乗算、除算の演算は、実数だけでなく複素数のセットに対しても明確に定義されています。
2 つの複素数 z 1 = a + bi および z 2 = c + di を考えてみましょう。このセットの要素に対して、前述の各操作がどのように発生するかを分析してみましょう。
1.追加
z 1 + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
一方の実数部をもう一方の実数部と加算し、虚数部についても同様に進めることに注意してください。
例: 複素数 z 1 = 5 + 8i、z 2 = 1 + 2i、およびz 3 = 2 – 3i がある場合、次を計算します。
a) z 1 + z 2 = (5 + 8i) + (1 + 2i) = (5 + 1) + (8 + 2)i = 6 + 10i
b) z 2 + z 3 = (1 + 2i) + (2 – 3i) = (1 + 2) + (2 – 3)i = 3 – i
2. 引き算
減算も同様の方法で行われます。ご注意ください：
z 1 – z 2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
例：
a) (5 + 8i) – (1 + 2i) = (5 – 1) + (8 – 2)i = 4 + 6i
b) (1 + 2i) – (2 – 3i) = (1 – 2) + [2 – (– 3)]i = – 1 + 5i
3. 掛け算
ご存知のとおり、i 2 = – 1 です。
それから、
類似した用語をグループ化すると、次のようになります。
例：
a) (5+8i)・(1+2i) = (5・1-8・2)+(5・2+1・8)i
(5+8i)・(1+2i) = (5-16) + (10+8)i = -11+18i
b) (1+2i)・(2-3i) = [1・2 – 2・(-3)] + [1・(-3) + 2・2]i
(1+2i)∙(2-3i) = (2+6) + (-3+4)i = 8 + i
4. 分割
2 つの複素数の除算を実行するには、複素数の共役の概念を導入する必要があります。 z = a + bi とすると、z の共役は z̅ = a – bi となります。これで、複素数の除算演算を定義できるようになりました。 
例：
)
分子と分母を別々に計算してみましょう。
(5 + 8i)(1 – 2i) = [5・1 – 8(-2)] + [5・(-2) + 1・8]i = 21 – 2i
分母を乗算するときは、次のプロパティを適用するだけです。
z ∙ z̅ = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2
このような、
(1 + 2i)(1 – 2i) = 1 2 + 2 2 = 5
それから、
b)
