行列式を計算する場合、これらの計算の実行に役立つルールがいくつかありますが、これらのルールのすべてをどの行列にも適用できるわけではありません。これを考慮すると、任意の正方行列に適用できるラプラスの定理が得られます。
議論の余地のない事実は、行列式の計算を実行するのに最も適した、次数 2 および 3 の正方行列に対するサラスの規則の適用に関するものです。ただし、Sarrus の規則は次数が 3 を超える行列には適用できないため、これらの行列式を解決するには Chió の規則とラプラスの定理のみが必要になります。
ラプラスの定理について話すときは、余因子の計算を自動的に関連付けなければなりません。これは、この定理を通じて行列の行列式を見つける上で不可欠な要素であるためです。
これを考慮すると、ラプラスの定理をいつ使用するかという大きな疑問が生じます。なぜ Chió の法則ではなくこの定理を使用するのでしょうか?
ラプラスの定理では、以下にリンクされている記事でわかるように、この定理は「サブ行列」(メイン行列の要素から得られる低次の行列) の決定的な計算をいくつか実行するため、他の定理よりも複雑な作業になります。 Chió ルールを使用します。この質問に答えるのに役立つ興味深いことに気づくので、ラプラスの定理の式を分析してみましょう。
行列 A は次数 4 の正方行列です。
ラプラスの定理によれば、余因子を計算するために最初の列を選択すると、次のようになります。
detA=a 11 .A 11 +a 21 .A 21 +a 31 .A 31 +a 41 .A 41
余因子 (A ij ) は行列 A 4×4のそれぞれの要素で乗算されることに注意してください。要素: a 11 、a 31 、a 41 がゼロに等しい場合、この行列式はどのように見えるでしょうか?
detA=0.A11+a21.A21+0.A31+0.A41
余因子 A 11 、A 31 、および A 41はゼロが乗算されるため、計算する理由がないことに注意してください。つまり、この乗算の結果はゼロになります。したがって、この行列式を計算するには、要素 a 21とその補因子 A 21が残ります。
したがって、行 (行または列) の 1 つに複数の null 要素 (ゼロに等しい) がある正方行列がある場合は常に、ラプラスの定理が行列式を計算するための最良の選択肢になります。
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