ラプラスの定理は、余因子を使用して次数 n ≥ 2 の正方行列の行列式を計算する方法で構成されます。
正方行列の aij 要素の余因子は次の数値であることを思い出してください。
ラプラスの定理を使用して次数 n ≥ 2 の正方行列 M の行列式を計算するには、次のように進める必要があります。
1. 行列 M の任意の行 (行または列) を選択します。
2. キュー内の各要素にそれぞれの余因子を乗算します。
3. ラプラスの定理によれば、行列 M の行列式は、行内の要素とそれぞれの余因子の積の合計になります。
次数 2 と次数 3 の正方行列の行列式を計算する実用的な方法がすでにあるため、次数 4 以上の行列にラプラスの定理を適用するのは興味深いことです。
提案した定理の応用例をいくつか紹介します。
例１ ． Sarrus の実用的な装置とラプラスの定理を使用して、以下の行列の行列式を計算します。
解決策: まず、実用的な Sarrus 法を使用して行列式を計算しましょう。
それでは、ラプラスの定理を使って行列式を計算してみましょう。
行列 M の任意の行または列を選択する必要があります。この場合、行 2 を選択します。
ここで、行内の各要素にそれぞれの余因子を乗算します。
したがって、行列式はこれらの積の合計、つまり次のようになります。
D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4。
前述したように、この場合、Sarrus の実際的な装置により、行列式の計算がラプラスの定理よりもはるかに簡単になることに注意してください。
例２ ．ラプラスの定理を使用して、次の行列の行列式を計算します。
解決策: 行列 A から行または列を選択する必要があります。
列 2 を選択すると、次のようになります。
ラプラスの定理から、次のことがわかります。
D = a 12 ?A 12 + a 22 ?A 22 + a 32 ?A 32 + a 42 ?A 42
したがって、次のようになります。
したがって、行列 A の行列式は次のようになります。
D = 3?9 + 2?48 + 1?(-24) + 1?(-15) = 27 + 96 – 24 – 15 = 84
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