定在波は、波が固定点に衝突して開始点に戻るときに発生し、それに逆らう波が重なり合い、強め合う干渉（腹または腹）と弱め合う干渉（結び目）が連続して発生します。限られた物理空間内でのこの一定の入射と反射により、波がどの方向にも移動していないような印象が生じます。 「ステーショナリー」という名前の由来はこれに由来します。
定在波についてのまとめ
入射波が固定点に衝突した後、同じ媒質内で反射する波と重なるとき、波は静止します。これが発生すると、建設的な干渉または破壊的な干渉が発生します。
波の特性は、振幅、周波数、周期、波長です。
波の振動速度は、波長とその形成周期の比です。
発振速度を決定する別の方法は、波長と発振周波数の積を使用することです。
ノットは、入射波と反射波の間の破壊的な干渉の結果です。
腹部または腹は、入射波と反射波の間の強め合う干渉の結果です。
弦上の定在波は横方向の波であり、弦の端の少なくとも 1 つが取り付けられている場合に発生します。
管内の定在波は縦波であり、波が少なくとも 1 つの自由端を持つ管内に含まれる場合に発生します。
定在波の特徴は何ですか?
弦、バネ、またはチューブに入射する波が、固定点に衝突した後に同じ媒質内で反射される波と重ね合わされる場合、波は定常型になります。この重ね合わせが発生すると、建設的干渉と破壊的干渉という 2 つの結果が同時に生成されます。
相殺的干渉は、入射波の山が反射波の谷と一致する場合、またはその逆（最初の波の谷、2 番目の波の山）に発生します。したがって、両方のパルスの振幅を加算すると、結果はヌルになります。このようにして、ノードが得られる。
2 つの山または谷が重なる場合、つまり 2 つの波の山または谷の位置が同じ場合、強め合う干渉が発生します。その結果、第 1 波と第 2 波の振幅値が加算され、元の波よりも大きな値になり、腹部または腹が形成されます。次の図は、入射波、反射波、腹とノードの形成を段階的に表しています。
「干渉」という用語は書籍で広く使用されていますが、正確ではなく、歴史的な理由からその使用が維持されています。波は実際には干渉せず、重なり合うため、正しい用語は重ね合わせです。
定在波の速度
速度は、カバーされるスペースとカバーするのにかかる時間の比です。波を扱う場合、カバーされる空間は波長 λ (連続する 2 つの山または谷の始まりの間の距離) であり、時間は周期 T (波長を形成するのに必要な時間) です。
\(v=\frac{\lambda}{T}\)
周波数 f (1 秒間に波長が繰り返される回数) を周期の逆数と考えると、前の式を書き直すことができます。
\(T=\ \frac{1}{f}\ \rightarrow f=\frac{1}{T}\)
\(v=\lambda·f\)
次の図は、波長を表す方法を表しています。
弦上の定在波
弦上に波が形成されるとき、波の振動の方向は波の伝播方向と垂直になります。これが起こるとき、その波は横波と呼ばれます。弦の一端と固定点との距離を距離 d として、弦上に形成される波を考えます。したがって、波長の測定値は、距離の 2 倍と形成された腹 (谷または山) の数 n の比になります。
\(\lambda=\frac{2·d}n\)
弦において、ベリーを形成する 2 つのノード間の距離は、第 1 高調波 (n) または基本周波数と呼ばれます。 3 つのノードを使用して 2 つの腹部が形成されると、第 2 高調波が発生します。次の図は、長さと固定点間の距離が同じであるが、腹部の数により波長が異なる 5 つのストリングを表しています。
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\(\lambda=\frac{2·d}5\) \(\lambda=\frac{2·d}{4}=\frac{d}2\) \(\lambda=\frac{2·d}3\) \(\lambda=\frac{2・d}2=d\) \(\lambda=\frac{2・d}1=2・d\) |
この図を分析すると、弦上の波の速度は周波数に直接比例するため、弦の形成する腹部が増えるほど波長が短くなり、その結果、速度が遅くなるという結論に達します。
\(v=\lambda·f\)
弦に波を生成するには、力を加える必要があります。ロープですので力は牽引タイプ(F)となります。ロープの速度は、ロープの長さ、質量、加えられる牽引力によって異なります。質量と長さの関係から、ロープの質量(m = kg)と長さ(L = m)の比であるロープの線密度(μ = kg/m)が求められます。
\(\mu=\frac{m}{L}\)
次に、ストリング上の波の速度は、ストリングの張力と線密度の比の平方根です。
\(v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\)
計算例
例 1:次の画像は、長さ 3 kg、長さ 5 m のロープの一方の端に 60 N の牽引力が加わったときの動きによって形成される波を表しています。ロープを固定する固定点の間の長さは 2 メートルです。この情報をもとに、次のことを決定します。
文字列の線密度:
m = 3kg
長さ＝5m
μ = ?
\(\mu=\frac{m}{L}=\frac{3}{5}=0.6\ kg/m\)
ロープ上の波の速度:
F=60N
\(v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}=\sqrt{\frac{60}{0,6}}=\sqrt{100}=10\ m/s\)
波長：
d = 2m
λ = ?
ストリングの固定点間に 4 つの波長が形成され、それらの間の距離が d = 2 m であると考えると、次のようになります。
\(d = 4\ · λ\)
\(2 = 4\ · λ\)
\(\lambda=\frac{2}{4}=0.5\ m\)
形成された波の周波数:
\( v=10\ m/s\ \)
\( \lambda=0.5\ m\)
f = ?
\(v=\lambda·f\)
\(10 = 0.5\ · f\)
\(f=\frac{10}{0.5}=20\ Hz\)
波長を形成するのにかかる時間:
f = 20Hz
T = ?
\(T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20}=0.05\ s\)
音響管内の定在波
音波は縦方向の機械波、つまり伝播と同じ方向に振動します。音波が有限の閉じた管内を伝播し、乗り越えられない障害物に遭遇すると、音波は反射されて逆方向の波と重なり、管内に定在波が形成されます。
縦波が流体 (液体または気体) 内を伝播すると、変位が生じます。その結果、圧力が変化します。定常波であるため、腹や結び目が形成されます。ただし、変位結び目が発生すると、チューブ内の空気圧は最大になります (圧力ベリー)。変位腹が発生すると、圧力はゼロになります (圧力ノード)。
チューブ内では、波はノードから始まりベリーで終わり、またはその逆になります。粒子が結び目にあるとき、圧力が最大になるため、粒子は動きません。しかし、お腹の上にあるときは圧力がゼロなので、振動は最大になります。この現象は、私たちの声の形成や管楽器、金属楽器、または同様の楽器で発生します。
真空管内では高調波も形成されます。長さ L の閉じた管では、各高調波は 4 分の 1 波長 (λ/4) に相当し、ノードからベリーまでの距離に等しくなります。
次の式に見られるように、高調波 (n) が増加すると、波長は減少します。
\(\lambda=\frac{4L}{n}\)
4L が波長 (λ 1 ) の長さに相当することがわかります。 第 1 高調波の場合、上記の式は書き換えることができます。
\(\lambda_1=4·L\)
\(\lambda=\frac{\lambda_1}{n}\)
次の図は、開放端を持つ管内で高調波が形成される様子を表しています。
両端に開口部がある管では、高調波は 2 つのノード間の距離と同じになります。したがって、高調波は波長の半分 (λ/2) に相当します。したがって、管の長さと波長の関係は次のようになります。
\(\lambda=\frac{2L}{n}\)
2L が第 1 高調波の波長 (λ 1 ) に相当することがわかると、上の方程式を書き直すことができます。
\(\lambda_1=2・L\)
\(\lambda=\frac{\lambda_1}{n}\)
計算例
音波は、一端が閉じられた 0.3 メートルの管内で放射され、合計 6 つの高調波を形成します。管内の波の速度が 400 m/s であることを考慮して、この波の周波数を計算します。
応答
データの抽出:
長さ＝0.3m
n = 6 高調波
v = 400 m/秒
これは一端が閉じられたチューブであるため、次のようになります。
\(\lambda=\frac{4L}{n}=\frac{4·0.3}6=\frac{1.2}6=0.2 m\)
\(v = λ\ · f\)
\(400 = 0.2\ · f\)
\(f=\frac{400}{0,2}=2000\ Hz\)