すべての 2 次関数は f(x) = a x 2 + bx + c のタイプで、a ≠ 0 です。 2 次関数のグラフは放物線であり、係数aの値に応じて次のようになります。凹部を上または下に向けてください。係数aが負 ( a < 0) の場合、放物線の凹面は下向きになります。逆の場合、つまりaが正の場合 ( a > 0)、放物線の凹面は上を向きます。放物線はいくつかの注目すべき点を示しています。根はグラフが横軸と交差する点であり、頂点は関数の絶対最大値または絶対最小点になる可能性があります。放物線の座標を決定し、2 次関数の研究におけるその重要性を理解するために、放物線の頂点を研究します。
前述したように、放物線の頂点は、2 次関数の絶対最大値または絶対最小値の点になる可能性があります。放物線の凹面が上を向いている場合、頂点は関数の最小点、つまり関数が取り得る最小値です。放物線の凹面が下を向いている場合、頂点は関数の最大点、つまり関数が取り得る最大値になります。これらの概念の使用は、斜め投げの理論に非常に役立ちます。
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2 次関数 f(x) = ax 2 + bx + c を指定すると、この関数で記述される放物線の頂点 V の座標は次のようになります。
どこ
? = b2 – 4ac
いくつかの応用例を見てみましょう。
例１ ．次の関数に絶対最大点または絶対最小点があるかどうかを確認します。
a) f(x) = – 2x 2 + 3x + 5
解決策: 2 次関数の場合、絶対的な最大点と最小点があるかどうかを判断するには、関数によって記述される放物線の凹面が下向きか上向きかをチェックするだけです。この場合、次のことを行う必要があります。
a = – 2 < 0 → 放物線の凹面は下を向いています。
放物線の凹面が下を向いているため、この関数には絶対最大点があり、それが放物線の頂点になります。
b) y = 5x 2 – 3x
解決策: そうする必要があります。
a = 5 > 0 → 放物線の凹面が上を向いています。
したがって、この関数には放物線の頂点である絶対最小点があると言えます。
例２ ．関数 f(x) = 2x 2 – 4x + 6 で記述される放物線の頂点の座標を決定します。
解決策: 関数 f(x) = 2x 2 – 4x + 6 を分析すると、次の結果が得られます。
a = 2、b = – 4、c = 6
したがって、次のようになります。
例 3 。大砲から発射される弾丸は、y = -9x 2 + 90x という方程式で放物線を描きます。 y がメートル単位の高さ、x が同じくメートル単位の射程であることがわかっているので、砲弾が到達する最大の高さを決定します。
解決策: 放物線には方程式 y = – 9x 2 + 90x があるため、その凹面が下を向いており、頂点が最大であるため、砲弾が到達する最大の高さは頂点の y 座標に対応していることがわかります。絶対的なポイント。
したがって、砲弾が到達する最大の高さを決定するには、頂点の y 値を決定するだけです。
a = – 9、b = 90、c = 0 となります。したがって、次のようになります。
したがって、砲弾が到達する最大の高さは 225 メートルです。