正方行列は、等しい行数と列数を表す行列です。すべての正方行列は、行列式と呼ばれる数値に関連付けられています。行列式は、線形システムを解く際や、頂点の座標がわかっている場合にデカルト平面内の三角形の面積を計算する際に応用できます。
1次、2次、3次の正方行列の行列式がどのように計算されるかを見てみましょう。
1 次行列の行列式。
1 次正方行列 M = [a 11 ] が与えられると、その行列式は数値 a 11になります。つまり:
det M = a 11
2 次行列の行列式。
2 次正方行列が与えられると、その行列式は、主対角要素の積と副対角要素の積の差をとることによって取得されます。つまり:
3 次行列の行列式。
次数 3 の正方行列の行列式を計算するには、Sarrus 法を使用します。このプロセスがどのように行われるかを観察してください。
次の 3 次正方行列を考えてみましょう。
Sarrus メソッドは次のもので構成されます。
1 番目: 最後の列の隣にある行列の最初の 2 列を繰り返します。
2 番目: 主対角線の要素の積と、主対角線に平行な 2 つの対角線の要素の積を加算します。
(a 11 ?a 22 ?a 33 +a 12 ?a 23 ?a 31 +a 13 ?a 21 ?a 32 )
3 番目: 2 次対角線の要素の積と、2 次対角線に平行な 2 つの対角線の要素の積を加算します。
(a 12 ?a 21 ?a 33 + a 11 ?a 23 ?a 32 + a 13 ?a 22 ?a 31 )
4 番目: 決定要因は、ステップ 2 と 3 で得られた結果の差です。つまり、次のとおりです。
det A = (a 11 ?a 22 ?a 33 + a 12 ?a 23 ?a 31 + a 13 ?a 21 ?a 32 ) – (a 12 ?a 21 ?a 33 + a 11 ?a 23 ?a 32 +～ 13 ?～ 22 ?～ 31 )
いくつかの応用例を見てみましょう。
例 1. 以下の行列の行列式を計算します。
解決策: 行列 M は 2 x 2 次の平方です。したがって、その行列式は次の式で与えられます。
例 2. 行列の行列式を計算する
解決：
例 3. 以下の M3 x 3 行列を考慮して、その行列式を計算します。
解決：
det A = (10+12+0) – (16+0+15)=22-31 = -9
例 4. 以下の 3 x 3 行列の行列式を計算します。
解決：
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