行列を研究すると、さまざまな種類の行列の名前や分類がたくさん出てきますが、それらを混同することはできません。しばしば混乱を引き起こす 2 つのタイプは、転置行列と逆行列です。
特定の行列の転置は、その行と列の間で行われる反転であり、逆行列とは大きく異なります。逆行列について詳しく話す前に、もう 1 つの非常に重要な行列である恒等行列を思い出してください。
単位行列 ( I n ) には同じ数の行と列があります。次の次数 3 の単位行列の場合と同様に、その主対角は数値「1」のみで構成され、他の要素は「0」です。
次数 3×3 の恒等行列
ここで、前の主題である逆行列に戻りましょう。正方行列 A について考えます。行列A -1は、 AA -1 = A -1 .A = I nの場合に限り、行列 A の逆行列になります。しかし、すべての行列に逆行列があるわけではないため、この行列は非可逆行列または特異行列であると言えます。
次数 2 の行列 A の逆行列を見つける方法を見てみましょう。 A -1の要素がわからないので、未知数x、y、z、およびwによってそれらを識別します。まず、行列A と A -1を乗算します。その結果は単位行列になる必要があります。
A. A -1 = In
A の逆行列である A -1を求める
A と A -1の間の積を取得し、それを次数 2 の恒等行列と同等にすることで、2 つのシステムを形成することができました。最初の系を代入によって解くと、次のようになります。
1 番目の式: x + 2z = 1 ↔ x = 1 – 2z
2 番目の方程式にx = 1 – 2zを代入すると、次のようになります。
2 番目の方程式: 3x + 4z = 0
3.(1 – 2z) + 4z = 0
3 – 6z + 4z = 0
– 2z = – 3
(-1)。 (-2z) = -3 。 (-1)
z = 3/2
z = 3/2の値を見つけたら、それをx = 1 – 2zに代入してxの値を決定しましょう。
x = 1 – 2z
x = 1 – 2.3
2
x = 1 – 3
x = – 2
次に、同じく置換法を使用して 2 番目のシステムを解いてみましょう。
最初の式: y + 2w = 0 ↔ y = – 2w
2 番目の方程式のy = – 2wを置き換えると、次のようになります。
2 番目の式: 3y + 4w = 1
3.(-2w) + 4w = 1
– 6w + 4w = 1
– 2w = 1
w = – 1/2
w = – 1/2が得られたので、それをy = – 2wに代入してyを求めましょう。
y = – 2w
y = – 2.( – 1 )
2
y = 1
A -1の要素がすべて揃ったので、 AA -1 = I nおよびA -1 .A = I nであることが簡単にわかります。
A に A -1を乗算し、A -1に A を乗算することにより、どちらの場合でも恒等行列が得られることを確認します。
逆行列の性質:
1°)逆行列は常に一意です。
2nd)行列が可逆である場合、その逆行列の逆行列は行列そのものです。
(A -1 ) -1 = A
3°)逆行列の転置は、転置行列の逆行列に等しい。
(A -1 ) t = (A t ) -1
4°) A と B が同じ次数の正方行列で可逆である場合、それらの積の逆数は、順序を入れ替えたそれらの逆数の積と等しくなります。
(AB) -1 = B -1 .A -1
5 番目)ヌル行列 (すべての要素がゼロ) は逆行列を認めません。
6°)単位行列 (要素が 1 つだけある) は常に可逆であり、その逆行列と等しくなります。
A = A -1
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