垂直線

垂直線は、90 度の角度を形成して交差する線です。デカルト平面内の 2 つの直線を調べる場合、それぞれの縮小方程式と一般方程式に関する情報を使用して、それらが垂直であるかどうかを計算できます。

垂線についてのまとめ

垂直線は、 90°の角度を形成して交差する線です。
2 つの直線の縮小された一般方程式を使用すると、それらが垂直であるかどうかを判断できます。
2 本の直線は、それらの角度係数の積が-1に等しい場合、垂直になります。
2 つの直線\(r: a_rx+b_ry=c_r \ および \ s: a_sx+b_sy=c_s\) は、次の場合に垂直になります。

\(a_r\cdot a_s+b_r\cdot b_s=0\)

垂直線とは何ですか?

同じ平面に属し、ある点で交差する 2 つの直線は、それらの間に形成される角度が直線、つまり90°の場合に垂直であると言われます。

2 つの直線rとsが互いに垂直であることを示す 1 つの方法は、 r⊥s ( 「r」は「s」に垂直) という表記を使用することです。

次の図では、線rとs は互いに垂直であるため、それらの間の直角は正方形で表されます。

平面内の垂直線

垂直線の研究に関連して、主な目的は、2 本の線が互いに垂直であるか垂直でないかを発見することです。これを行うには、それらに対して分析的なアプローチを採用する必要があり、したがって、それらを含む座標系を採用する必要があります。

したがって、直線の研究は一般にデカルト平面に基づいており、各直線はその平面のx座標とy座標に基づいて記述できます。

垂線の性質

2 本の直線間の垂直性に基づいて、それらに共通するいくつかの特性を強調することができます。

性質 1:線rが平面に含まれ、線sがそれに垂直な場合、この線sもその平面に含まれます。

したがって、2 本の垂線を含む平面は 1 つだけ存在します。

性質 2:同じ直線rに垂直な 2 本の直線s ₁とs ₂がある場合、 s ₁とs _{2 は}互いに平行です。

r がs ₁およびs ₂に対して垂直である場合、 sとs _{2 は}互いに平行です。

垂線の角度係数

解析幾何学の概念を使用すると、 2 つの直線が互いに垂直であるか垂直でないかを判断できます。この状態を分析する 1 つの方法は、簡略化された方程式に基づいて各直線の角度係数を分析することです。

2 つの直線rとsの縮小方程式を考えてみましょう。

\(\直線\rの\方程式\: y_r=m_r\cdot x+n_r\)

\(直線の\ の縮小\ 方程式\: y_s=m_s\cdot x+n_s\)

線rとsの角度係数m _rとm _sをそれぞれ分析すると、次の場合にこれらの線が垂直であると言えます。

\(m_r\cdot m_s=-1\)

互いに垂直な 2 本の線をどのように識別しますか?

2 つの直線の縮小方程式がわかれば、以前に確立された関係に従って、それらが垂直であるかどうかを識別することができます。

例 1:線分\(r:y=x-4 \ \ es:y=-x+1\)が垂直かどうかを確認します。

直線rの傾きは\(m_r=1\) 、直線sの傾きは\(m_s=-1\)です。したがって、これらの値間の積は次と等しくなります。

\(m_r\cdot m_s=1\cdot\left(-1\right)=-1\)

したがって、線rと線s は互いに直交します。

例 2:線分\(r:y=2x+7\ と \ s:y=-2x-3\)が垂直かどうかを確認します。

この例では、直線rの傾きは\(m_r=2\)です。直線sの角度係数は\(m_s=-2\)です。したがって、これらの値の積は次と等しくなります。

\(m_r\cdot m_s=2\cdot\left(-2\right)=-4\)

したがって、この場合、直線ｒと直線ｓは直交しない。

実践的な方法

2 つの直線が垂直であるかどうかを、それぞれの一般方程式に関する情報を使用して、縮約方程式を求める必要なく判断する方法があります。

2 つの直線rとsの一般方程式を考えてみましょう。

\(\ 直線 \ r:a_rx+b_ry=c_r\ の一般\ 方程式\)

\(\ 直線 s:a_sx+b_sy=c_s\ の一般\ 方程式 \)

次の関係が満たされる場合、直線rとs は互いに垂直になります。

\(a_r\cdot a_s+b_r\cdot b_s=0\)

例：

線分\(r:3x+4y=3\ と \s:8x-6y=7\)が垂直になっているかどうかを確認します。

線分rの係数は\(a_r=3 \ e\ b_r=4\)です。直線sの係数は\(a_s=8 \ および \ b_s=-6\)です。このような：

\(a_r\cdot a_s+b_r\cdot b_s=3\cdot8+4\cdot\left(-6\right)=24-24=0\)