エシェロン線形システムの分類

システムが完全にスケーリングされている場合、スケーリングされた線形システムを分類するには、システムの最後の行を分析するだけで済みます。ラインの数が未知数の数に対応しない場合、つまりスケーリングされない未知数がある場合、これらのシステムを「不完全システム」と呼び、他のラインを次のように完成させます。

不完全なシステムは別の方法で解決され、不完全なシステムとして分類されます。この事実は、行 (または列) 全体が 0 に等しい行列の行列式は 0 に等しいため、係数行列の行列式を計算することで理解できます。行列式による線形システムの分類は、「行列式がゼロの場合、このシステムを SPI と呼ぶ」ということを覚えておく価値があります。

完全なスケジュールがあれば、3 つの異なる方法でシステムを分析できますが、それらはすべて最後の行に応じて異なります。このようにして、最後の行に次のようにします。

• 未知数が 1 つある 1 次方程式。 (例: 3x=3; 2y=4;…): システムは SPD (決定可能なシステム) になります。

• 未知のもののない真の平等。 (例: 0 = 0; 2 = 2; 4 = 4): システムは SPI (Indeterminate Possible System) になります。

• 未知数のない偽の等価性。 (例: 1 = 0; 2 = 1; 3 = -3; 5 = 2): システムは SI (Impossible System) です。

• 未知の値を決定することは不可能であるという等価性。 (例: 0.x=10; 0w=5; 0y=2)。未知数にゼロが乗算され、値と同等になることがわかります。未知の値を決定することは不可能であると述べます。なぜなら、その値が何であれ、係数 0 (ゼロ) を乗算すると結果はヌルになるからです。

いくつかの例を見てみましょう。

例 1:

これは 3×3 システムで、フルスケールで最後の行に 1 次方程式が含まれています。したがって、確実な解決策が得られることが期待されます。

3 番目の方程式から、z = 2 が得られます。

2 番目の式では、z の値を代入します。 y = 4 であることがわかります。

最初の式に zey の値を代入すると、x = 2 となります。

これにより、システムが可能かつ決定され、その解決策セットは次のようになります。

S ={(2, 4, 2)}

例 2:

完全スタッガード3×3システム。

3 番目の方程式では、未知の z の値を決定することができない、つまり不可能なシステムであることに注意してください。

解セット: S = ∅

例 3:

2×3、千鳥配置システム。未知の z が単独でスケッチされていないため、これは不完全なシステムです。したがって、このシステムには方程式よりも多くの未知数があるため、このシステムは不定の可能性のあるシステムです。

したがって、それを解決するには、次のように進めます。スケーリングされていない未知は自由な未知であり、任意の値を取ることができるため、任意の値 (α) を与えます。

z = α

未知の z に任意の値があれば、この値を 2 番目の方程式に代入して、未知の y の値を見つけることができます。 y の値は、z の値として採用されるそれぞれの値に依存することに注意してください。

2y – 2α = 6; 2y = 6 – 2α; y = 3 – α。

ze と y の値がわかっているので、それらを最初の式に代入できます。

x -3 + α + α = 3; x = 2α

したがって、解セットは次のように与えられます。

S = {(2α, 3 – α, α)} (「一般的な」解。α ごとに異なる解が得られます)

システムは無限の解を許容するため不定であり、α の値を変えるだけです。

α = 1 とします。S = {(2, 2, 1)}

α = 0 とします。S = {(0, 3, 0)}

α = 3 とします。S = {(6, 0, 3)}

未知数の数から方程式の数を引いた値が 1 (3-2 = 1) に等しいため、このシステムの不確定度は 1 であると言います。また、自由変数があるとも言えます。

例 4:

2×4システム。それは可能性のある不確定なシステムです。 2 つの方程式と 4 つの未知数があり、そのうち 2 つは自由未知数 (y と z) になります。不確定度は2です。

z = α および y = β とします。ここで、α と β は実数のセットに属します。

2 番目の方程式には次の式があります: α + t = 1 ⇒ t = 1 – α

最初の方程式では次のようになります。

x – β + 2α – 3( 1 – α) = 5 ⇒ x = 8 – 5α + β

したがって、一般的な解決策は次のようになります。

S = {( 8 – 5α + β, β, α, 1 – α )}。