ケプラーの第三法則

ケプラーの第 3 法則は、天体の公転周期の 2 乗は、他の天体の公転軌道の平均半径の 3 乗に正比例するという法則です。したがって、他の天体に近づくほど、並進時間は短くなり、天体間の距離は短くなります。

ケプラーの第 3 法則の概要

ヨハネス・ケプラーによって定式化された、周期の法則または調和の法則として知られるケプラーの第 3 法則は、次のように述べられています。

「惑星の周期の二乗は、軌道長半径の三乗に比例する。」

これは、ある天体の別の天体の公転（並進）時間が長い場合、それらの間の距離が長くなり、最初の天体が二番目の天体の周りを一周するのにかかる時間が長くなるということを意味します。

この法則は、太陽 (または別の天体) の周りの距離と天体の公転周期との関係を求めることを目的として、天文学者、占星術師、数学者のヨハネスケプラー (1571-1630) によって作成されました。

ケプラーの第 3 法則を説明する式は次のとおりです。

\(\frac{T^2}{R^3} = \text{定数} \)

これは、惑星の軌道の平均半径の 3 乗が惑星の並進周期の 2 乗に直接比例することを意味します。

2 つの惑星または天体を比較する場合、ケプラーの第 3 法則の公式は次のようになります。

\(\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3} \)

下の表は、地球の周期と平均半径を基準とした、太陽系の惑星の周期と平均半径のデータです。 ^|1|

重要: AU は天文単位で、地球から太陽までの距離 (1.48 x 10 ⁸ km) に相当します。

ケプラーの第3法則は、天体の公転周期や軌道の平均半径を知ることを目的として、天文学や天体物理学の分野のほか、各種入試でも用いられる科目です。これを念頭に置いて、ケプラーの第 3 法則を質問に適用する方法の例をいくつか選択しました。

太陽から 45 天文単位の距離にある惑星 X のおおよその公転周期を地球年で求めます。

解決：

ケプラーの第三法則公式を使用して、惑星 X の公転周期を計算します。

\(\frac{T_1^2}{R_1^3} = \text{定数} \)

この場合、周期の法則の結果は 1 に相当します。

\(\frac{T^2}{45^3} = 1 \)

\(\frac{T^2}{91125} = 1 \)

\(T^2 = 1 \cdot 91125 \)

\(T^2 = 91125 \)

\(T = \sqrt{91125} \)

\(T \約 301.9 \, \ \text{地球年}\)

地球の周りにはいくつかの衛星が回っています。衛星Aの軌道半径が9万km、公転周期が地球の自転周期24時間、衛星Bの公転半径が5万kmであるとして、衛星Bのおおよその公転周期を計算します。

解決：

2 つの衛星を関係付けるケプラーの第 3 法則公式を使用して、衛星 B の公転周期を計算します。

\(\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3} \)

\(\frac{24^2}{90000^3} = \frac{T_2^2}{50000^3} \)

\(\frac{576}{7.29 \cdot 10^{14}} = \frac{T_2^2}{1.25 \cdot 10^{14}} \)

\(T_2^2 = \frac{576 \cdot 1.25 \cdot 10^{14}}{7.29 \cdot 10^{14}} \)

\(T_2^2 = \frac{576 \cdot 1.25}{7.29} \)

\(T_2^2 = \frac{720}{7.29} \)

\(T_2 \約 \sqrt{98.76} \)

\(T_2 \約 9.94 \,\ \text{時間} \)