ベクトルは、点の直線軌道を記述し、その方向、方向、動きの強さを示すため、物理学分野の力学の研究で広く使用されている数学的オブジェクトです。これらのオブジェクトは矢印によって幾何学的に表現され、空間内の位置は実際の座標を持つ点によって示されます。このようにして、ベクトルの基本的な数学演算の一部を定義することができます。
ベクトル v = (x,y) の幾何学的表現。原点から始まり点 A = (x,y) で終わります。
平面に属する点 A = (x,y) を使用して、ベクトル v = (x,y) を定義できます。これを行うには、このベクトルは原点 O = (0,0) で始まり、点 (x,y) で終わり、x 成分と y 成分が実数のセットに属している必要があります。
ベクトルの追加
ベクトル u = (a,b) および v = (c,d) を考えると、加算演算は次のように定義する必要があります。結果のベクトルの座標 u + v は、ベクトルのそれぞれの座標の合計になります。 u と v :
u + v = (a + c、b + d)
結果の座標は実数の和によって得られるため、中立要素と加法逆要素の存在に加えて、ベクトルの和が可換性および結合性があることを示すことができます。これらのプロパティはそれぞれ次のとおりです。
i) u + v = v + u
ii) (u + v) + w = u + (v + w)、 w は u および v と同じ平面に属するベクトルです。
iii) v + 0 = 0 + v = v
iv) v – v = – v + v = 0
ベクトル減算
ベクトル u = (a,b) とベクトル v = (c,d) の減算は、ベクトル u とベクトル – v = ( – c, – d) の和として定義されます。このようにして、次のようになります。
u – v = u + (– v) = (a – c、b – d)
ベクトルと実数の乗算
u = (a,b) をベクトル、k を実数とすると、ベクトル u と実数 k の乗算は次のように求められます。
k・u = k・(a,b) = (k・a,k・b)
k、i、a、b が実数であると考えると、実数を乗算したベクトルには、可換性、結合性、分配性、および中立要素の存在という特性が適用されます。これらのプロパティはそれぞれ次のように変換されます。
i) k u = u k
ii) k・(i・v) = k・i・(v)
iii) k・(u + v) = k・u + k・v
iv) 1・v = v・1 = v
ベクトルのモジュール
ベクトルは、意味と方向を示すことができるように、向きを変えた直線セグメントとして幾何学的に表現されます。このようにして、直線セグメントとして、任意のベクトルの長さを測定することができます。この長さの測定は、(実数のモジュールと同様に) ベクトルの終点と原点の間の距離を示すため、ベクトルのモジュールとも呼ばれます。この尺度の別の一般名は、ベクトルのノルムです。
ベクトル v = (a,b) のノルムまたは法は |v| で表されます。これらはそれぞれベクトル v の最終点と初期点であるため、点 (a,b) と点 (0,0) の間の距離を通じて計算できます。したがって、次のように書きます。
v のノルムを求めるために行われる計算
内積
ベクトルを u = (a,b) および v = (c,d) とし、それらの間の内積を次のように表します。.jpg){kind=small}
、次の式で定義されます。
δ はベクトル u と v の間の角度です。 2 つのベクトル間の内積を計算する別の方法は次のとおりです。
この主題に関連するビデオ レッスンをぜひご覧ください。