複素数は実数 z = (a, b) の順序付きペアであることがわかっています。 z = (a, b) 型のすべての複素数は、正規形式または代数形式 z = a + bi で書くことができます。この複素数をアルガン-ガウス平面で表し、三角法とピタゴラスの定理からのいくつかのリソースを使用すると、それを三角関数形式: z = |z|(cos θ + i.sin θ) で書くことができます。
三角関数形式は、計算における実用性により、複素数を含む乗算と除算を実行する場合に非常に役立ちます。
三角関数形式の乗算。
三角関数形式で書かれた 2 つの複素数を考えてみましょう。
z 1 = |z 1 |・(cosθ + i・sin θ) および z 2 = |z 2 |(cos α+i・sin α)
z 1と z 2の間の積は次のように計算できます。
z 1 ∙ z 2 = |z 1 |∙|z 2 |∙[cos(θ+α) +i∙sin (θ+α) ]
この事実は次の関係によって保証されます。
sin(θ + α) = sinθ ∙ cosα + sinα ∙cosθ
cos(θ + α) = cosθ ∙ cosα – sinθ ∙sinα
例 1 : 複素数 z 1 = 6∙(cos30 o + i∙sin 30 o ) および z 2 = 3∙(cos15 o + i∙sin 15 o ) として、 z 1 ∙ z 2の値を計算します。
解決策: 三角関数形式で複素数を乗算する公式を使用すると、次のようになります。
z 1 ∙ z 2 = 6・3・[cos(30 o + 15 o )+i・sin (30 o + 15 o )]
z 1 ∙ z 2 = 18∙(cos45 o + i∙sin 45 o )
解決策: 乗算の公式を使用すると、次の結果が得られます。
三角関数形式の割り算
三角関数形式で割り算を実行するには、計算を容易にする公式もあります。
z 1 = |z 1 |・(cosθ + i・sin θ) および z 2 = |z 2 |(cosα + i・sinα) を任意の 2 つの複素数とすると、z 1と z 2の間の商は次のように求められます。 :
例 3 : z = 22∙(cos120 o + i∙sin 120 o ) および c = 11∙(cos90 o +i∙sin 90 o ) として、z/c の値を決定します。
解決策: 複素数を三角関数形式で除算する公式を使用すると、次のようになります。
