対数方程式は、未知数を対数の底または対数で表します。対数の形式は次のとおりです。
log a b = x ↔ a x = b 、
*aは対数の底、 bは対数、 xは対数です。
対数方程式を解くときは、対数によって計算の開発が容易になるため、対数の演算特性を認識する必要があります。これらのプロパティを使用せずに方程式を解くことができない状況さえあります。
対数方程式を解くには、方程式が 2 つの可能なケースに到達するまで、方程式の解法と対数の従来の概念を適用します。
1) 底が同じ対数間の等価性:
対数方程式を解くときに、底が同じ対数が等しい状況に達した場合は、単純に対数を等しくします。例：
log a b = log a c → b = c
2) 対数と実数の等価性
対数方程式を解くと対数と実数が等しくなる場合は、単純に対数の基本特性を適用します。
log a b = x ↔ a x = b
対数方程式の例をいくつか参照してください。
1番目の例:
log 2 (x + 1) = 2
この対数の存在条件をテストしてみましょう。そのためには、対数がゼロより大きくなければなりません。
x + 1 > 0
x > – 1
この場合、2 番目のケースの例があるため、次のように対数を展開します。
log 2 (x + 1) = 2
2 2 = x + 1
x = 4 – 1
x = 3
2番目の例:
log 5 (2x + 3) = log 5 x
存在条件をテストすると、次のことがわかります。
|
2x + 3 > 0
2x > – 3 x > – 3 / 2 |
x > 0 |
この対数方程式には、第 1 の場合の例があります。底が同じ対数は等しいため、対数のみを使用して方程式を作成する必要があります。
log 5 (2x + 3) = log 5 x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3
3番目の例:
log 3 (x + 2) – log 3 (2x) = log 3 5
存在条件を確認すると、次のようになります。
|
x + 2 > 0
x > – 2 |
2x > 0
x > 0 |
対数の特性を適用すると、商と同じ底を持つ対数の減算を書くことができます。
log 3 (x + 2) – log 3 (2x) = log 3 5
log 3 (x + 2) – log 3 (2x) = log 3 5
最初のケースの例に到達したので、対数を等しくする必要があります。
x + 2 = 5
2倍
x + 2 = 10x
9x = 2
x = 2 / 9
4番目の例:
log x – 1 (3x + 1) = 2
存在条件を確認するときは、対数の底も分析する必要があります。
|
x – 1 > 0
x > 1 |
3x + 1 > 0
3x > – 1 x > – 1 / 3 |
この対数方程式は 2 番目の場合に属します。それを解決すると、次のようになります。
log x – 1 (3x + 1) = 2
(x – 1) 2 = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x’ = 0
x” – 5 = 0
x” = 5
存在条件 ( x > 1)により、解x’ = 0は不可能であることに注意してください。したがって、この対数方程式の唯一の解はx” = 5です。
5番目の例：
log 3 log 6 x = 0
存在条件を適用すると、 x > 0およびlog 6 x> 0になります。ロゴ：
log 3 (log 6 x) = 0
3 0 = 対数6 x
log6x = 1
6 1 = ×
x = 6