数学者ペルガのアポロニウスの業績は、解析幾何学に大きな影響を与えました。円錐曲線は、紀元前 2 世紀にこの数学者によって行われた研究の結果であり、円錐曲線の中で、アポロニウスは楕円、放物線、双曲線に関する研究を開発しました。これらはすべて円錐に行われた切断の結果です。
次の図に示すように、円錐の底面に平行でない切断によって楕円を取得できます。
楕円は円錐の底面に平行でない切断によって得られます
楕円を作成するには、2 つの点F 1を考慮できます。 とF 2の間の距離が一定値2cになるようにします。これらの点の周囲に、それらの距離の合計が常に2cより大きくなるように、他の一連の点をマークします。楕円は、この特性を満たす平面内のすべての点の集合です。次の図では、点 A、B、C、D による楕円の形成を示していますが、これらは楕円を形成する点の 1 つにすぎません。
楕円は、距離の合計が 2c より大きいすべての点の集合です。
楕円の主な要素は次のとおりです。
F 1とF 2 は焦点です。
Oは中心です。
A 1 A 2 は長軸を形成します。
B 1 B 2 は短軸を形成します。
2c は焦点距離です。
2a は長軸の測定値です。
2b は短軸の測定値です。
w 偏心はあります。
の
この楕円内の強調表示された点は、前に説明した主要な要素を表します。
主要な要素から、半軸aとbおよび焦点距離の半分cによって形成される三角形により、ピタゴラスの定理が適用できることがわかります。
a² = b² + c²
次の図に示すように、楕円曲線上の点P (x,y)を介して縮小方程式を確立することもできます。
楕円曲線上の任意の位置の点 P (x,y) を介して、縮小方程式を記述することができます。
楕円が上の画像と同じで、長軸がデカルト平面内で水平に位置する場合、楕円の縮小方程式は次のようになります。
x² + y² = 1
a² b²
しかし、長軸がデカルト平面上に垂直に配置されている場合、楕円の縮小方程式は次のようになります。
y² + x² = 1
a² b²