正方行列の行列式の計算は、多くの場合、いくつかの性質と定理を使用して簡略化できます。余因子は、ラプラスの定理に適用すると、これらの計算を容易にする要素です。補因子とは何かを定義しましょう。
次数 n ≥ 2 の正方行列 M を考え、a ij をM の要素とします。数値 A ij は、A ij = (-1) (i+j) ?D ij となる a ijの余因子と呼ばれます。ここで、D ij は、i 番目の行と j 番目の列を削除した後に M から得られる行列の行列式です。
定義を読むと複雑な計算のように見えますが、非常に単純です。余因子の定義と計算方法をよりよく理解するために、いくつかの例を見てみましょう。
例１ ．以下の行列 M を考えると、要素 a 23の余因子は何ですか?
解決策: 要素 a 23の余因子を決定したいと思います。したがって、i = 2 および j = 3 となります。次に、M の 2 行目と 3 列目を削除する必要があります。
したがって、次のようになります。
したがって、要素 a 23の余因子は A 23 = – 3 となります。
例２ ．以下の行列 A の要素 a 41の余因子を計算します。
解決策: 要素 a 41の余因子を決定したいと思います。したがって、i = 4 および j = 1 となります。A の 4 行目と 1 列目を削除する必要があります。
したがって、次のようになります。
したがって、要素 a 41の余因子は A 41 = – 4 となります。
例 3 。以下の行列 G の要素 a 22 の余因子は何ですか?
解決策: 要素 a 22の余因子を決定したいので、i = 2 および j = 2 になります。このように、行列 G の 2 行目と 2 列目を削除する必要があります。
したがって、次のようになります。
したがって、要素 a 22の余因子は A 22 = 22 となります。
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