複素数の三角関数形式

複素数は、実数 z= (a, b) の順序付きペアです。代数形式では、順序ペアは z = (a + bi) として記述できます。アルガン-ガウス平面で複素数を表すと、次のようになります。

どこ：
|z| →は複素数zの加群です。
θ → は z の引数です。

ピタゴラスの定理を使用すると、次のようになります。

a と b は θ と |z| で書くことができます。直角三角形に三角法を使います。

上記の 2 つの等式を z の代数形式に代入すると、次のようになります。

z = |z|・cosθ + |z|・sinθ・i

|z| を入れる証拠として、次のことが得られます。

z = |z|(cosθ + i∙sin θ) → これは、z の三角関数形式または極形式と呼ばれます。

三角関数形式は、複素数のべき乗と放射に広く使用されており、複素数集合における将来の研究の対象となります。

理解を深めるためにいくつかの例を見てみましょう。

例 1 : 次の複素数をそれぞれ三角関数形式で書きます。

a) z = 1 + i

解決策: 代数形式では、次のようになります。
a = 1 および b = 1

したがって、次のようになります。

したがって、次のようになります。

点 (a, b) = (1, 1) は第 1 象限にあるため、上で示したサイン値とコサイン値を表す角度 θ は θ = 45 ^°であると言えます。したがって、複素数の三角関数形式は次のようになります。
z = √2 (cos45 ^o + i∙sin 45 ^o )

b) z = -1 + i√3

解決策: 代数形式から次のことが得られます。

a = -1 および b = √3

z の係数は次の式で与えられます。

したがって、次のようになります。

点 (a, b) = (-1,√3) は第 2 象限に属するため、指定されたサイン値とコサイン値を表す角度 θ は θ = 120° であると言えます。したがって、複素数の三角関数形式または極形式は次のようになります。

z = 2(cos120 ^o + i・sin 120 ^o )

例２ ．複素数の代数形式を取得する
z = 6(cos270 ^o + i∙sin 270 ^o )

解決策: サイクルの三角法から、次のことがわかります。

cos 270 ^o = 0 および sin 270 ^o = – 1

したがって、次のようになります。

z = 6(cos270 ^o + i∙sin 270 ^o ) = 6[0+i∙(-1)] = -6i

したがって、z の代数形式は z = – 6i となります。