無理数方程式

無理数方程式は、方程式内の少なくとも 1 つの未知数が基数内にある場合に、無理数方程式として分類されます。次の例を通じて、それらを解決するための戦略を開発します。

1種目

無理数方程式の中では理想的な形です。それを解決するには、ラジカルを排除する必要があります。これを行うには、方程式の両辺を単純に二乗します。

2x ² + 3x – 1 = (x + 1) ²

「注目製品」の概念を思い出すと、方程式の 2 番目の要素に「二乗和」のケースがあります。これを発展させて、伝統的な二次方程式として書くために方程式の項を整理してみましょう。

2x ² + 3x – 1 = x ² + 2x + 1

2x ² – x ² + 3x – 2x – 1 – 1 = 0

x ² + x – 2 = 0

次に、Bhaskara の公式を適用します。

Δ = b ² – 4.ac

Δ = (1) ² – 4.1.(- 2)

Δ = 1 +8

Δ = 9

したがって：

x = – b ± √ Δ
        2.a

x = – 1 ± √ 9
2

x = – 1 ± 3
      2

x’ = – 1 + 3 = 2 = 1
2 2

x’ = – 1 – 3 = – 4 = – 2
2 2

この方程式の根は1と– 2です。

2種目

この方程式を解くために、最初は前の場合と同様に、つまり方程式の両辺を二乗します。

項「-1」は方程式の 2 番目の辺に渡されるため、最初のタイプの方程式が形成されます。したがって、前のものと同様に解決できます。

x ⁴ + 3x ² – 3x + 1 = (x ² + 1) ²

またまた注目製品の登場です。方程式の 2 番目の辺の和の 2 乗を展開するだけです。

x ⁴ + 3x ² – 3x + 1 = x ⁴ + 2x ² + 1

x ⁴ – x ⁴ + 3x ² – 2x ² – 3x + 1 – 1 = 0

x ² – 3x = 0

x を証拠の因子として置くことで、この 2 次方程式を解くことができます。

x(x – 3) = 0

x’ = 0

x” – 3 = 0 → x” = 3

この方程式の根は0と3です。

3種目

​

もう一度、方程式の両辺を二乗してみます。

4. (4x ² – 8x – 5) = 4x ² – 16x – 20

4x ² – 8x – 5 = 4x ² – 16x – 20
                        4

4x ² – 8x – 5 = x ² – 4x – 5

4x ² – x ² – 8x + 4x – 5 + 5 = 0

3x ² – 4x = 0

x(3x – 4) = 0

x’ = 0

3x” – 4 = 0 → x” = 4
                             3

この方程式の根は0と⁴ / ₃です。

これらは、無理数方程式が通常存在する最も一般的な形式です。一般に、方程式の片側の根を常に分離する必要があります。そうすることで、方程式の両辺を指数が根のインデックスに等しい累乗するときに、根を消去して方程式を解くことができます。自分自身を表現する形で。