補完的マイナー

最小の補数は、行列の各項に関連付けられた数値であり、その研究で広く使用されています。これは、行列の特定の要素の余因子を計算するのに役立つ行列内にある数値です。最小の補数と余因子の計算は、特に、逆行列を見つけたり、3 次以上の行列の行列式を計算したりする場合に役立ちます。

項 a _ijに関連付けられた最小の相補的 D _ijを計算するには、行 i と列 j を削除し、この新しい行列の行列式を計算します。余因子 C _ijを計算するには、その最小の補数の値がわかっていれば、C _ij = (-1) ^i+j D _{ij となります。}

コンプリメンタリーマイナーについてのまとめ

行列の項 a _ijに関連付けられた最小の補数は、D _ijで表されます。
最小の補数は、行列内の項に関連付けられた余因子を計算するために使用されます。
a _ijの最小の補数を見つけるには、行列から行 i と列 j を削除し、その行列式を計算します。
項の余因子 C _{ij は}、式 C _ij = (-1) ^i+j D _{ij によって計算されます。}

行列項の最小の補数を計算するにはどうすればよいですか?

最小の補数は、行列の各項に関連付けられた数です。つまり、行列の各項には最小の補数があります。正方行列、つまり、次数 2 以上の同じ数の行と列を持つ行列の最小の補数を計算することができます。項 a _ijの最小補数は D _ijで表され、これを見つけるには、列 i と行 j を削除したときに生成される行列の行列式を計算する必要があります。

→ 行列項の最小補数の計算例

以下の例は、それぞれ、次数 2 の行列の最小補数と次数 3 の行列の最小補数を計算するためのものです。

例1

次のマトリックスを考えてみましょう。

\(A=\left[\begin{行列}4&5\\1&3\\\end{行列}\right]\)

項 a ₂₁に関連付けられた最小の補数を計算します。

解決：

項 a ₂₁に関連付けられた最小の補数を計算するには、行列の 2 行目と 1 列目を削除します。

\(A=\left[\begin{行列}4&5\\1&3\\\end{行列}\right]\)

次の行列のみが残ることに注意してください。

\(\左[5\右]\)

この行列の行列式は 5 に等しい。したがって、 ₂₁に対する項の最小の補数は次のようになります。

_D21 =5

注:この行列内の他の項の余因子を見つけることができます。

例 2:

行列 B が与えられると、

\(B=\left[\begin{行列}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{行列}\right]\) ,

項 b ₃₂の最小の補数を見つけます。

解決：

最小の相補 D ₃₂を見つけるには、行列 B の行 3 と列 2 を削除します。

\(B=\left[\begin{行列}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{行列}\right]\)

強調表示された項を削除すると、行列が残ります。

\(\left[\begin{行列}3&10\\1&5\\\end{行列}\right]\)

この行列の行列式を計算すると、次のようになります。

\(D_{32}=3\cdot5-10\cdot1\)

\(D_{32}=15-10\)

したがって、項 b ₃₂に関連付けられた最小の補数は 5 に等しくなります。

また知っておきたい:三角行列 – 主対角線の上または下の要素が null である行列

微量補体および補因子

余因子は、行列の各要素に関連付けられた数値でもあります。余因子を見つけるには、まず最小の補数を計算する必要があります。項 a _ijの余因子は C _ijで表され、次のように計算されます。

\(C_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}D_{ij}\)

したがって、余因子は絶対値で最小の補数に等しいことがわかります。 i + j の合計が偶数の場合、余因子は最小の補数と等しくなります。 i + j の合計が奇数に等しい場合、余因子は最小の補数の逆数になります。

→ 行列項の余因子の計算例

次のマトリックスを考えてみましょう。

\(B=\left[\begin{行列}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{行列}\right]\)

項 b ₂₃の余因子を計算します。

解決：

余因子 b ₂₃を計算するには、まず最小の補数 d ₂₃を計算します。これを行うには、行列の 2 行目と 3 列目を削除します。

\(B=\left[\begin{行列}3&8&10\\1&2&5\\0&4&-1\\\end{行列}\right]\)

強調表示された項を削除すると、次の行列が得られます。

\(\left[\begin{行列}3&8\\0&4\\\end{行列}\right]\)

最小の相補的 d ₂₃を見つけるためにその行列式を計算すると、次のようになります。

\(D_{23}=3\cdot4-0\cdot8\)

\(D_{23}=12-0\)

\(D_{23}=12\)

最小の補数が得られたので、補因子 C ₂₃を計算します。

\(C_{23}=\left(-1\right)^{2+3}D_{23}\)

\(C_{23}=\left(-1\right)^5\cdot12\)

\(C_{23}=-1\cdot12\)

\(C_{23}=-12\)

したがって、項 b ₂₃の余因子は -12 に等しくなります。