単純調和運動 (SMH) は、力を加えて初期状態を変更したときに、物体がその静止位置の周りで生成する周期的な動きです。振幅、周期、周波数、角速度によって特徴付けられます。機械的エネルギーが保存されるため、そこには散逸力はありません。
単振動(SMH)についてのまとめ
単調和運動 (SMH) は、平衡位置の周りで物体によって実行される振動運動です。
この動きには、振幅、周期、周波数、角速度など、それを表すいくつかの特性があります。
振幅は波の高さです。
周期は 1 回の振動が完了するまでの時間です。
周波数とは、特定の時間内に行われる振動の数です。
角速度は、円運動中の物体の速度です。
単振動は、位置、速度、加速度の時間関数を使用して記述されます。
単振動の場合は、バネ質量振動子と単振り子です。
質量バネ振動子は、バネに取り付けられた物体が、バネの圧縮または膨張により平衡位置の周りで振動するシステムです。
質量バネ振動子では、周波数と角速度はバネ定数に比例します。周期は接続された物体の質量に比例します。
単振り子は、紐に取り付けられた物体が、それに加えられる力によって平衡位置の周りで振動するシステムです。
単純な振り子の場合、周期は弦の長さに比例し、重力加速度に反比例します。
単振動では機械エネルギーが保存されます。
単振動のエネルギーは物体の位置に応じて変化します。
単振動(MHS)の特徴
単純な調和運動には、その動きを表すいくつかの特性、つまり振幅、周期、周波数、角速度があります。画像では、これらの特徴のいくつかを確認できます。
→ 単振動（MHS）の振幅
振幅は波の高さであり、波が到達した最高点である波頭と平衡点であるゼロ点との差に相当します。また、動きの極点の 1 つと平衡点の間の距離であることもあります。
→ 単振動の周期（MHS）
周期は、単振動のシステムが振動を完了するのにかかる時間であり、周波数の逆数です。
→ 単振動（MHS）の周波数
周波数は、所定の時間内にシステムによって単振動で実行される振動の数であり、周期の逆数です。
→ 単振動角速度（MHS）
角速度は、脈動または角周波数とも呼ばれ、物体が円運動する速さです。
単振動の公式 (SMH)
→ 位置時計機能
\(x(t)=A\cdot cos(ω\ t+ϕ)\)
\(x(t)\) →時間の関数としての位置 (メートル単位で測定) \([m]\) 。
→メートル\([m]\)で測定される波の振幅。
\(ω\ t+ϕ\) →運動の段階。
ω → \([rad/s]\)で測定される角速度。
t →秒単位で測定される時間\([s]\) 。
\(ϕ\) →位相定数。
例：
振幅 1.5 メートル、角速度 0.5 rad/s、位相定数\(\frac{\pi}{2}\) を持つ調和振動子の位置の時間関数は何ですか?
解決：
調和振動子の位置の時間関数は次の方程式で与えられます。
\(x(t)=A\cdot cos(ω\ t+ϕ)\)
ステートメントで指定された値を代入すると、この場合の関数が得られます。
\(x(t)=1.5\cdot cos0\ (0.5\cdot t+\frac{π}2)\)
→スピードクロック機能
\(v(t)=-ω\cdot A\cdot sin\ (ω\ t+ϕ)\)
\(v(t)\) →メートル単位で測定される時間の関数としての速度\([m/s]\) 。
→メートル\([m]\)で測定される波の振幅。
\(ω\ t+ϕ\) →運動の段階。
ω → \([rad/s]\)で測定される角速度。
t →秒単位で測定される時間\([s]\) 。
\(ϕ\) →位相定数。
例：
振幅 3 メートル、角速度 6 rad/s、位相定数\(\frac{\pi}{4}\)を持つ調和振動子の時速関数は何ですか?
解決：
調和振動子の速度の時間関数は、次の方程式で与えられます。
\(v(t)=-ω\cdot A\cdot sin(ω\ t+ϕ)\)
ステートメントで指定された値を代入すると、この場合の関数が得られます。
\(v(t)=3\cdot cos(6\cdot t+\frac{π}4)\)
→ 加速時計機能
\(a(t)=ω^2\cdot A\cdot cos(ω\ t+ϕ)\)
\(a(t)\) →メートル単位で測定される時間の関数としての加速度\([m/s^2]\) 。
→メートル\([m]\)で測定される波の振幅。
\(ω\ t+ϕ \) →運動の段階。
ω → \([rad/s]\)で測定される角速度。
t →秒単位で測定される時間\([s]\) 。
\(ϕ \) →位相定数。
次のように表すこともできます。
\(a(t)=ω^2\cdot x(t)\)
\(a(t)\) →メートル単位で測定される時間の関数としての加速度\([m/s^2]\) 。
ω → \([rad/s]\)で測定される角速度。
\(x(t)\) →時間の関数としての位置 (メートル単位で測定) \([m]\) 。
例：
振幅 2.5 メートル、角速度 4 rad/s、位相定数 π を持つ調和振動子の加速度の時間関数は何ですか?
解決：
調和振動子の加速度の時間関数は、次の方程式で与えられます。
\(a(t)=ω^2\cdot A\cdot cos(ω\ t+ϕ)\)
ステートメントで指定された値を代入すると、この場合の関数が得られます。
\(x(t)=2.5\cdot cos(4+π)\)
→ 期間
\(T=\frac{1}f\)
T →期間、秒単位で測定\([s]\) 。
f →ヘルツ\([Hz]\)で測定される周波数。
次のように表すこともできます。
\(T=\frac{∆t}n\)
T →期間、秒単位で測定\([s]\) 。
\(Δt\) →秒単位で測定される時間変化\([s]\) 。
n →振動数。
→ 周波数
\(f=\frac{1}T\)
f →ヘルツ\([Hz]\)で測定される周波数。
T →期間、秒単位で測定\([s]\) 。
次のように表すこともできます。
\(f=\frac{n}{∆t}\)
f →ヘルツ\([Hz]\)で測定される周波数。
n →振動数。
\(Δt\) →秒単位で測定される時間変化\([s]\) 。
→角速度
\(ω=2\cdotπ\cdot f\)
\(ω\) → \([rad/s]\)で測定される角速度。
f →ヘルツ\([Hz]\)で測定される周波数。
次のように表すこともできます。
\(ω=\frac{2π}T\)
\(ω\) → \([rad/s]\)で測定される角速度。
T →期間、秒単位で測定\([s]\) 。
単振動(SMH)の例
単振動の主な例は、以下に示すように、調和振動子と単振り子です。
→ 質量バネ発振器
質量ばね振動子は、調和振動子とも呼ばれ、ばねに接続された本体で構成されるシステムであり、ばねを圧縮または伸ばして変形すると、その平衡位置 (静止点) の周囲で振動し始めます。 ) 以下の図に示すように、バネによって加えられる弾性力によるものです。
調和振動子では、バネの材質とそれに付随する本体の質量が振動速度に影響します。バネが硬いほど、振動の速度と周波数は速くなります。これらの量はバネ定数に比例するためです。ただし、振動の周期は接続する物体の質量に比例し、軽いほど周期は速くなります。
このため、次の式を使用して質量バネ振動子の周期、周波数、角速度を計算できます。
◦ 質量バネ振動子の周期
\(T=2π\cdot\sqrt{\frac{m}k}\)
T →期間、秒単位で測定\([s]\) 。
m →体重、キログラム単位で測定\([kg]\) 。
k →バネ定数、単位は\([N/m]\) 。
◦ 質量バネ振動子の周波数
\(f=\frac{1}{2π}\cdot\sqrt{\frac{k}{m}}\)
f →ヘルツ\([Hz]\)で測定される周波数。
k →バネ定数、単位は\([N/m]\) 。
m →体重、キログラム単位で測定\([kg]\) 。
◦ 質量バネ振動子の角速度
\(ω=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
\(ω\) → \([rad/s]\)で測定される角速度。
k → \([N/m]\)で測定されるバネ定数。
m →体重、キログラム単位で測定\([kg]\) 。
→ 単純な振り子
単振り子は、伸びない糸に本体が取り付けられたシステムです。次の図でわかるように、力が適用されると、重力場の存在下で振動が始まります。
単純な振り子の場合、弦の長さとその場所の重力加速度が振動速度に影響します。ワイヤが長いほど、その発振周期は長くなります。振り子が置かれた重力による加速度が大きいほど、その振動周期は短くなります。
このため、次の式を使用して単振り子の周期と周波数を計算できます。
◦ 単振り子の周期
\(T=2\cdotπ\cdot\sqrt{\frac{l}g}\)
T →期間、秒単位で測定\([s]\) 。
l →メートル単位で測定されるワイヤの長さ\([m]\) 。
g → \([m/s^2]\)で測定される重力加速度。
◦ 単純な振り子の周波数
\(f=\frac{1}{2\cdotπ}\cdot\sqrt{\frac{g}l}\)
f →ヘルツ\([Hz]\)で測定される周波数。
g → \([m/s^2]\)で測定される重力加速度。
l →メートル単位で測定されるワイヤの長さ\([m]\) 。
単調和運動 (MHS) のエネルギー
単振動では、機械エネルギーが保存されるため、摩擦力や抗力などの散逸力は存在しません。運動エネルギーは位置エネルギーに、またはその逆に変換されます。
したがって、機械的エネルギー保存式から始めて、MHS のエネルギーを計算します。これは次の式で与えられます。
\(E_m=E_c+E_{ペル}\)
\(E_m\) →機械エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
\(E_c\) →ジュール\([J]\)で測定される運動エネルギー。
\(E_{pel}\) →弾性位置エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
ただし、この式は、以下に示すように、オブジェクトが配置されている位置に応じて変化します。
→ 平衡位置にある物体のエネルギー
物体が平衡位置にあるとき、以下の画像でわかるように、その位置は点 0 にあるため、弾性位置エネルギーは存在しません。
\(x=0\)として速度は最大になるため、機械エネルギーは次の式で求められます。
\(E_m=\frac{m\cdot v_{max}^2}2\)
\(E_m\) →機械エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
m →キログラム単位で測定される質量\([kg]\) 。
\(v_{max}\) → \([m⁄s]\)単位で測定される最大速度。
→ 最大圧縮点における物体のエネルギー
物体が最大圧縮位置( \( x=-A\) )にあるときは、以下の画像でわかるように、速度がゼロに等しいため、運動エネルギーは存在しません。
\(v=0\)として、その位置は最大圧縮状態になるため、機械エネルギーは次の式で求められます。
\(E_m=\frac{k\cdot x_{max}^2}2\)
\(E_m\) →機械エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
k → \([N/m]\)で測定されるバネ定数。
\(x_{max}\) →バネの最大変形量、メートル単位で測定\([m]\) 。
最大圧縮点を\(-A\)と呼ぶと、式は次のように変わります。
\(E_m=\frac{k\cdot A^2}2\)
Em →ジュール\([J]\)で測定される機械エネルギー。
k → \([N/m]\)で測定されるバネ定数。
→ばねの最大変形量 (メートル\([m]\)で測定)。
→ 最大伸び点における物体のエネルギー
物体が最大伸びの位置( \(x=A\) )にあるときは、以下の画像でわかるように、速度がゼロに等しいため、運動エネルギーも存在しません。
\(v=0\)として、その位置は最大伸びとなるため、機械的エネルギーは次の式で求められます。
\(E_m=\frac{k\cdot x_{max}^2}2\)
\(E_m\) →機械エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
k →バネ定数、単位は\( [N/m]\) 。
\(x_{max}\) →メートル単位で測定されるばねの最大伸び\( [m]\) 。
最大伸び点をAとすると、式は次のように変わります。
\(E_m=\frac{k\cdot A^2}2\)
\(E_m\) →機械エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
k → \([N/m]\)で測定されるバネ定数。
→ばねの最大伸び。メートル単位で測定されます\([m]\) 。
→ いつでもエネルギー
物体が極大点と平衡点以外の点にあるとき、機械的エネルギーは運動エネルギーと弾性位置エネルギーの和で与えられます。
\(E_m=E_c+E_{ペル}\)
\(E_m\) →機械エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
\(E_c\) →ジュール\([J]\)で測定される運動エネルギー。
\(E_{pel}\) →弾性位置エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
この場合、単調和運動を記述する任意の位置にある物体の力学的エネルギーは次のようになります。
\(E_m=\frac{m\cdot v^2}2+\frac{k\cdot x^2}2\)
\(E_m\) →機械エネルギー、ジュール\([J]\)で測定。
m →キログラム単位で測定される質量\([kg]\) 。
v →速度、 \([m/s]\)で測定。
k → \([N/m]\)で測定されるバネ定数。
x →バネの伸びまたは変形。メートル単位で測定されます\([m]\) 。