単位行列は、主対角のすべての要素が 1 に等しく、他のすべての要素が 0 に等しい正方行列です。次数nの単位行列を I n で表します。単位行列は乗算の中立的な要素です。つまり、行列 A と単位行列の積を計算すると、行列 A 自体が答えになります。
詳細:逆行列 — 指定された行列を乗算すると、常に単位行列が得られる行列
恒等行列についてのまとめ
- これは、主対角上の項が 1 に等しく、他の項が 0 に等しい正方行列です。
- 次数nの単位行列を I nで表します。
- 単位行列は乗算の中立要素として知られているため、A⋅I n = A となります。
- 一般に、 n 次の単位行列は次のように表されます。
\(I_n=\left(\begin{行列}1&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&1\\\end{行列}\right)\)
単位行列とは何ですか?
単位行列は行列の特殊なケースです。行列が主対角上のすべての項が 1 に等しく、残りの項が 0 に等しい正方行列である場合、行列は単位として分類されます。
単位行列は、行列間の乗算の中立要素であるという事実により、行列の特殊な場合になります。したがって、行列 A に単位行列を乗算すると、行列 A 自体の答えが見つかります。一般に、次のことがわかります。
恒等行列の例
以下の恒等行列を参照してください。
\(I_2=\left(\begin{行列}1&0\\0&1\\\end{行列}\right)\)
\(I_3=\left(\begin{行列}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{行列}\right)\)
\(I_4=\left(\begin{行列}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{行列}\right)\)
単位行列の性質は何ですか?
以下に示すように、単位行列の 2 つの重要な特性を強調することができます。
単位行列は行列乗算の中立要素です。
行列に単位行列を乗算すると、行列そのものがわかります。これは、行列間の乗算演算には中立的な要素があることを意味します。したがって、一般に行列 A を考えると、次のようになります。
\(A\cdot I_n=A\)
行列とその逆行列の積は単位行列と等しくなります。
行列 A に逆行列\(A^{-1}\)を乗算すると、行列乗算の中立要素である単位行列が見つかります。
\(A\cdot A^{-1}=I_n\)
単位行列の乗算
次に、行列 A と単位行列の乗算を行います。行列 A が次数 3 の行列であると仮定します。
\(A=\left[\begin{行列}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{ 33}\\\終了{行列}\右]\)
行列 A と単位行列 I 3の積を計算したいとします。
\(A\cdot I_3=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{21}&a_{22}&a_{32}\\a_{31}&a_{32 }&a_{33}\\\end{行列}\right]\cdot\left[\begin{行列}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{行列}\right]\)
M = A⋅I 3と仮定すると、M の項は次のとおりです。
\(M_{11}=a_{11}\cdot1+a_{12}\cdot0+a_{13}\cdot0=a_{11}\)
\(M_{12}=a_{11}\cdot0+a_{12}\cdot1+a_{13}\cdot0=a_{12}\)
\(M_{13}=a_{11}\cdot0+a_{12}\cdot0+a_{13}\cdot1=a_{13}\)
\(M_{21}=a_{21}\cdot1+a_{22}\cdot0+a_{23}\cdot0=a_{21}\)
\(M_{22}=a_{21}\cdot0+a_{22}\cdot1+a_{13}\cdot0=a_{22}\)
\(M_{23}=a_{21}\cdot0+a_{22}\cdot0+a_{23}\cdot1=a_{23}\)
\(M_{31}=a_{31}\cdot1+a_{32}\cdot0+a_{33}\cdot0=a_{31}\)
\(M_{32}=a_{31}\cdot0+a_{12}\cdot1+a_{13}\cdot0=a_{32}\)
\(M_{33}=a_{31}\cdot1+a_{32}\cdot0+a_{33}\cdot1=a_{33}\)
次のように結論付けることができます。
\(A\cdot I_3=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32 }&a_{33}\\\end{行列}\right]\)
行列の項に関係なく、一般に同じ行列 A が見つかることに注意してください。
恒等行列に関する演習を解決しました
質問1
次の行列を分析して、単位行列\(I_2\)を含む代替行列を選択します。
A) \( \left[\begin{行列}0&1\\1&0\\\end{行列}\right]\)
B) \( \left[\begin{行列}1&1\\1&1\\\end{行列}\right]\)
C) \( \left[\begin{行列}4&1\\1&5\\\end{行列}\right]\)
D) \( \left[\begin{行列}1&0\\0&1\\\end{行列}\right]\)
E) \( \left[\begin{行列}1&2\\2&1\\\end{行列}\right]\)
解決：
オルタナティブD
次数 2 の恒等行列には 0 に等しい二次対角要素と 1 に等しい主対角要素があり、これは代替 D で発生します。
質問2
(ユーデス) 行列\(\left[\begin{matrix}x^2-6x+9&0\\x^2-3x-4&1\\\end{matrix}\right]\) は次数 2 の単位行列に等しいため、 、2x の値 そして：
ザ） -4
B) 6
W) 4
D) 8
E) -8
解決：
オルタナティブD
この行列は単位行列であるため、次のようになります。
\(x² – 6x + 9 = 1\)
\(x² – 6x + 9 – 1= 0\)
\(x² – 6x + 8 = 0\)
a = 1、b = -6、c = 8 として、 2 次方程式を解きます。
\(\デルタ=b^2-4ac\)
\(\Delta=\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot8\)
\(\デルタ=36-32\)
\(\デルタ=4\)
バスカラの計算:
\(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
\(x=\frac{6\pm\sqrt4}{2\cdot1}\)
\(x=\frac{6\pm2}{2}\)
\(x_1=\frac{6+2}{2}=\frac{8}{2}=4\)
\(x_2=\frac{6-2}{2}=\frac{4}{2}=2\)
他の方程式では、次のようになります。
\(x² – 3x – 4 = 0\)
\(a = 1、b = -3、c = -4\)
このような：
\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot(-4)\)
\(\デルタ=9+16\)
\(\デルタ=25\)
バスカラの計算:
\(x=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\)
\(x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}\)
\(x=\frac{3\pm5}{2}\)
\(x_1=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4\)
\(x_2=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1\)
したがって、両方の方程式の解の値は x = 4 であるため、2x の値は次のようになります。
\(2\cdot4=8\)