2 次方程式に関連する問題の状況は、数学、物理学、化学では非常に一般的です。方程式 ax² +bx +c = 0 を2 次方程式として定義します。ここで、a、b、c は実数であり、a ≠0 です。
一般に、2 番目の完全なs方程式と不完全な2 番目の方程式があり、これらは Bhaskara 公式または和と積によって解決されます。不完全な二次方程式には特定の解決方法があり、Bhaskara や和と積を使用するよりも便利な場合があることに注意してください。
二次方程式とは何ですか?
ax² + bx + c = 0 (a、b、c は実数であり、a ≠ 0) というタイプの方程式を2 次方程式または 2 次方程式として定義します。 この名前が付けられたのは、等式の最初の要素で、未知数が 1 つある 2 次の多項式があります。係数 a、b、c のうち、a だけがゼロと異なることに注意してください。a がゼロに等しい場合、項 ax² はゼロに等しいため、方程式は 1 次方程式 bx になります。 + c = 0。
方程式の順序に関係なく、係数a は常に項 x² の後に続き、係数 b は常に項 x の後に続き、係数 c は常に独立した項になります。
2 次方程式の例をいくつか確認してください。
a) 2x² – 3x + 4 = 0 → a = 2; b= – 3; c = 4
b) – x ² + 5x – 1 = 0 → a = -1; b = 5; c = –1
c) 5x² = 0 → a = 5; b = 0; c = 0
d) x² – 2 = 0 → a = 1 b = 0; c = –2
e) -3x² + 0.2x = 0 → a= – 3; b=0.2; c = 0
2次方程式の種類
2 次方程式には、完全なものと不完全なものの 2 つのタイプがあります。前に示した例 (a) および (b) のように、すべての係数が 0 以外である場合、方程式は完全であると見なされます。例 (c)、(d)、および (e) のように、その係数の少なくとも 1 つがゼロに等しい場合、方程式は不完全 として知られます。
例:
2x² + 3x – 4 = 0 → 完了
9x² – 2 = 0 → 不完全
2次方程式を解くにはどうすればよいですか?
私たちは、方程式 ax² + bx + c = 0 の解または根として、この方程式を真にする x の値を知っています。 2 次方程式は、根となる実数を最大 2 つ持つことができます。完全な二次方程式を解くには、最も一般的な方法が 2 つあります。
バスカラ式。
和と積。
最初の方法は非常に機械的であるため、多くの人がそれを好みます。 2 番目を使用するには、倍数と約数に関する知識が必要です。さらに、方程式の解が壊れた数値である場合、和と積は適切な代替手段ではありません。
バスカラの公式
Bhaskara の公式を使用して 2 次方程式の解を求めるには、2 つの公式を知る必要があります。1 つは判別式としても知られるデルタ (Δ) で、もう 1 つはBhaskara の公式です。
方程式には常に実際の解があるとは限りません。 Δ の値はこれを示しており、3 つの可能性があります。
Δ > 0 の場合、方程式には 2 つの実数解が存在します。
Δ = 0 の場合、方程式には 1 つの実数解が存在します。
Δ < 0 の場合、方程式には実際の解はありません。
例：
方程式 x² + 2x – 3 = 0 の根を求めます。
第 1 ステップ:係数 a、b、c の値を見つけます。
a = 1
b= 2
c= –3
第 2 ステップ:式の係数の値を代入してデルタを計算します。
Δ = b² – 4 ac
Δ = 2² – 4・1・( – 3)
Δ = 2² – 4・1・( – 3)
Δ = 4 – 4 ·(-3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
Δ > 0 であるため、この方程式には 2 つの実数解が存在します。
3 番目のステップ: Bhaskara の公式を使用し、文字を係数とデルタ方程式の値に置き換えます。
この時点で、2 つの解を分割する必要があります。1 つは和、もう 1 つは差になります。
したがって、この方程式の考えられる解は、x = 1 または x = – 3 です。
こちらにもアクセスしてください: Bhaskara: 2次方程式の完全な解法
和と積
この方法では、数値の約数を知ることが重要です。方程式の根が整数の場合は興味深いものになりますが、10 進数の場合、この方法は非常に複雑になります。
和と積は、二次方程式の根 x 1と x 2の間の関係であるため、次の関係を満たす根の可能な値を探す必要があります。
例：
方程式 x² – 5x + 6 = 0 の解を求めます。
第 1 ステップ: a、b、c を見つけます。
a = 1
b = -5
c = 6
2 番目のステップ:式内の a、b、c の値を置き換えます。
第 3 ステップ:方程式を分析して x 1と x 2の値を見つけます。
この場合、積が 6 に等しく、合計が 5 に等しい 2 つの数値を探します。
乗算が 6 に等しい数は次のとおりです。
I. 6 x 1 = 6
II. 3×2＝6
Ⅲ． (-6) x (-1) = 6
IV. (-3) x (-2) = 6
考えられる結果のうち、合計が 5 に等しい結果を探します。合計が 5 に等しいのは II だけであるため、方程式の根は x 1 =3 および x 2 =2 であることに注意してください。
不完全な方程式
不完全な方程式には 3 つの可能性があります。それぞれについて、和と積、または Bhaskara 公式によって解くことができますが、それぞれに 3 番目の形式があり、一般的にはより高速な解決が可能です。
ax² = 0 タイプの不完全方程式
この場合、b = 0 および c = 0 であるため、できることはあまりありません。前述の方法のいずれかを適用すると、非常に時間がかかります。したがって、x を分離する必要があるだけです。
したがって、a の値がどのような場合でも (定義上、a はゼロではないことを思い出してください)、x の値は常に 0 になります。
ax² + bx =0 タイプの不完全方程式
この場合、c = 0 のみの場合、方程式内のx を強調表示して、次の積を生成することができます。
x(ax +b) = 0
乗算がゼロになるには、その項の 1 つがゼロでなければならないため、可能性は次のとおりです。
x= 0 または ax+b = 0
解の 1 つは x = 0 で、もう 1 つは 1 次方程式であり、x を分離することで解くことができます。
例：
2x² + 3x = 0
解 x 1 = 0 を見つけます。2 番目の方程式の x を分離すると、次のようになります。
ax² + c =0 タイプの不完全方程式
この場合、項 c は独立している、つまり未知を伴わないため、未知を分離することで解くことができます。この場合、一次方程式を習得する必要があります。
例：
3x² – 12 = 0
二次方程式系
二次方程式系を解くには、二次方程式系を解くことに習熟している必要があります。この場合、 加算法と置換法を習得することが重要です。
例：
第 1 ステップ: 1 次方程式の未知数の 1 つを分離します。
方程式 II は 1 次のものであるため、y を分離して書き直すことに注意してください。
y = 1 – x
2 番目のステップ:最初の式の y を置き換えます。
x² + y² = 5
x² + (1 – x)² = 5
x² + 1 – 2x +x² = 5
2x² – 2x + 1 =5
二次方程式を求めているので、方程式をゼロとみなすことに注意してください。
2x² – 2x + 1 – 5 = 0
2x² – 2x – 4 = 0
2次方程式があるので、和と積を使って解きますが、この場合もBhaskaraが効率的です。
a = 2
b = -2
c = -4
積が -2 に等しい数値は次のとおりです。
A. 1 x (-2) = – 2
B. (-1) x 2 = – 2
考えられる結果のうち、合計が 1 に等しい結果が必要なので、結果 B が方程式の解になります。
x 1 = -1 および x 2 = 2
3 番目のステップ: x の値がわかったら、方程式 x + y = 1 にそれぞれの値を代入して、y の可能な値を見つけます。
x+y = 1
x = -1
-1 + y = 1
y = 1+1 = 2
ペア (-1, 2) は方程式系の解です。
次に、次のことを行います。
x+y = 1
x = 2
2+y =1
y = 1 – 2
y = -1
ペア (2, -1) もシステムの解になります。
このシステムの考えられる解は次のとおりです。 (-1, 2)}。