たとえ話

解析幾何学の研究では、円錐に作られたカットから生じる 3 つの円錐部分、双曲線、楕円、放物線に遭遇します。特に放物線の研究は、点をデカルト平面に適用すると 2 次方程式が放物線を表すことを確立した数学者ピエール ド フェルマー(1601-1655) によって大々的に宣伝されました。

平面上に直線dと直線dに属さない点Fを考えると、 Fとdの間の距離はpで与えられます。 Fとd の両方から同じ距離にあるすべての点が、焦点 F と準線 d の放物線を構成すると言います。

定義を明確にするために、 P、 Q、R、およびS を放物線に属する点とみなしてください。準線dに属する点としてのP’ 、 Q’ 、 R’およびS’ 。そして、たとえ話の焦点としてのF。距離に関しては、次のように言えます。

この画像は、たとえ話の主要なポイントをすべて強調しています。

前の画像では、主要な要素が強調表示されたたとえ話の例を示しました。双曲線のこれらの主要な要素が何であるかを見てみましょう。

• フォーカス: F

• ガイドライン：d

• パラメータ: p (焦点とガイドリックスの間の距離)

• 頂点: V

• 対称軸: 直線

どのようなたとえ話を扱う場合でも、常に次の注目すべき関係を確立できます。

放物線の対称軸と一致するデカルト系の軸に応じて、2 つの縮小方程式を確立できます。それぞれを見てみましょう。

放物線の第 1 縮小方程式:

直交デカルト系で放物線の対称軸がx軸上にある場合、焦点F ( ^p / ₂ , 0)があり、準線d は方程式x = – ^p / _{2 となる直線になります。}以下の図を参照してください。

これと同様の放物線の場合、最初の縮小方程式を使用します。

P(x, y) が放物線に含まれる任意の点である場合、次の簡略化された方程式が得られます。

y² = 2px

放物線の 2 番目の縮小方程式:

しかし、一方で、放物線の対称軸が直交デカルト系のy軸上にある場合、放物線は次の図のようになります。

これと同様の放物線の場合、2 番目の縮小方程式を使用します。

もう一度P(x, y) を放物線に含まれる任意の点として考えると、次の簡略化された方程式が得られます。

x² = 2py