転置行列 - 科学

行列 A の転置行列は、列が A の行であり、行が同じ順序で A の列である行列A ^tです。形式的には、行列\(\left[a_{ij}\right]_{mxn} \)の転置を\(A^t=\left[a_{ji}\right]_{nxm}\) で表します。。

たとえば、次数 2×3 の行列 A を考えてみましょう。したがって、A の最初の行はA tの最初の列になり、A の 2 番目の行はA ^tの 2 番目の列になります。 A ^tの次数は 3×2 であり、A の各要素a _ijはA ^tの要素a jiであることに注意してください。

複合マトリックスの概要

転置行列には 5 つの主なプロパティがあります。

\(\left(A^t\right)^t=A\)

\(\left(A+B\right)^t=A^t+B^t\)

\(\left(cA\right)^t=cA^t\)

\(\left(AB\right)^t=B^tA^t\)

\(det\ A=det\ A^t\)

行列 A の転置を取得するには、A の行を列に、A の列を行に変換する必要があります。

行列\(A=\left[\begin{matrix}1&-6\\5&2\\4&0\\\end{matrix}\right]\)の転置を求めます。

解決：

行列 A の次数は 3×2 なので、A の転置の次数は 2×3 になります。さらに、A の各行はA ^tの列になり、A の各列はA ^tの行になります。したがって、

\(A^t=\left[\begin{行列}1&5&4\\-6&2&0\\\end{行列}\right]\)

行列 A の各要素a _ijは行列A ^t内の位置jiを占めることに注意してください。たとえば、A の要素a ₁₂ = -6は、行列A ^tの 2 行目、1 列目の位置を占めます。

正方行列 D がその転置\((D=D^t)\)と等しい場合、その行列は対称行列と呼ばれます。したがって、 iとjのすべての値について\(a_{ij}=a_{ji}\)の場合、 D は対称です。

\(D\ =\ \left[\begin{行列}2&-1\\-1&4\\\end{行列}\right] \ and\ D^t\ =\ \left[\begin{行列}2&- 1\\-1&4\\\end{行列}\right]\)

\(D\ =\ \left[\begin{行列}-3&7&0\\7&4&8\\0&8&-2\\\end{行列}\right] and\ D^t\ =\ \left[\begin{行列} -3&7&0\\7&4&8\\0&8&-2\\\end{行列}\right]\)

正方行列M ^-1は、それらの間の乗算の結果が単位行列 (同じ次数) になる場合、行列 M の逆行列と呼ばれます。

\(M\cdot M^{-1}=M^{-1}\cdot M=I\)

この文脈では、M は可逆行列です。つまり、逆行列が許容されます。

同じ位置にある要素が N の要素と反対である場合、 -N行列は N 行列の反対行列と呼ばれます。反対の要素とは反対の符号を持つ要素であることに注意してください。

\( -N\ =\ \left[\begin{行列}\ -2&\ -5\\\ -13&\ -8\\\end{行列}\right] は\ N の \ 反対の\ 行列\ \ =\ \left[\begin{行列}2&5\\13&8\\\end{行列}\right]\)

行列とその反対の行列の合計はヌル行列になります。