代数学の研究では、1次と2次の両方の方程式を多く扱います。一般に、2 次方程式は次のように記述できます。
ax 2 + bx + c = 0
2 次方程式の係数はa 、 b 、 c です。この方程式は、未知のx の2 乗、つまり 2 乗されることからこの名前が付けられました。これを解決する最も一般的な方法は、 Bhaskara Formulaを使用することです。これにより、次の式を使用して 2 次方程式の結果を取得できることが保証されます。
x = – b ± √ ? 、どこ？ = b 2 – 4.ac
2.a
この式を使用すると、2 つの根が得られます。1 つはデルタの平方根の前に正の符号を使用して取得され、もう 1 つは負の符号を使用して取得されます。次に、2 次方程式の根をx 1として表すことができます。 e × 2 次のように：
x 1 = – b + √ ?
2.a
x 2 = – b – √ ?
2.a
これらの根の和と積の関係を確立してみましょう。それらの最初のものは合計することで取得できます。すると、次のようになります。
x 1 + x 2 = – b + √ ? + ( – b – √ ?)
2.a 2.a
x 1 + x 2 = – b + √ ? – b – √ ?
2.a
デルタの平方根は反対の符号を持っているため、互いに打ち消し合い、次のものだけが残ります。
x 1 + x 2 = – 2.b
2.a
結果の分数を 2 で単純化すると、次のようになります。
x 1 + x 2 = – b
の
したがって、2 次方程式の根を加算すると、比– b / aが得られます。根x 1とx 2を乗算することで得られる 2 番目の関係を見てみましょう。
× 1 。 x 2 = – b + √ ? 。 – b – √ ?
2.a 2.a
× 1 。 x 2 = ( – b + √ ?).(– b – √ ?)
4.a2
括弧内の乗算に分配プロパティを適用すると、次が得られます。
× 1 。 x 2 = b 2 + b。 √ ? – b. √ ? — ( √ ?) 2
4.a2
条件として、ｂ． √ ?符号が反対の場合、それらは互いに打ち消し合います。また、 ( √ ?) 2を計算すると、 ( √ ?) 2 = √ ? となります。 √ ? = ? 。それを覚えていますか？ = b 2 – 4.ac 。 したがって：
× 1 。 x 2 = b 2 – ?
4.a2
× 1 。 x 2 = b 2 – (b 2 – 4.ac)
4.a2
× 1 。 x 2 = b 2 – b 2 + 4.ac
4.a2
× 1 。 × 2 = 4.ac
4.a2
a 2 = aaであることを考慮すると、分子と分母を4.aで割ることによって分数を簡略化でき、次のようになります。
× 1 。 x2 = w
の
これは、2 次方程式の根の間に確立できる 2 番目の関係です。根を掛けると、比率c / a が求められます。これらの根の和と積の関係は、不完全な二次方程式を扱っている場合でも使用できます。
2 次方程式の根の和と積を通じて得られる関係がわかったので、2 つの例を解いてみます。
方程式x 2 + 5x + 6 = 0を解かずに、次を決定します。
a)その根の合計:
x 1 + x 2 = – b
の
× 1 + × 2 = – 5
1
× 1 + × 2 = – 5
b)そのルーツの産物:
× 1 。 x2 = w
の
× 1 。 x2 = 6
1
× 1 。 ×2 = 6
方程式に 2 つの根x 2 + (k – 1).x – 2 = 0があり、その合計が– 1に等しくなるようにkの値を決定します。
その根の合計は次の理由により求められます。
x 1 + x 2 = – b
の
x 1 + x 2 = – (k – 1)
1
しかし、根の合計は– 1であると定義しました。
– 1 = – (k – 1)
1
– k + 1 = – 1
– k = – 1 – 1
(–1)。 – k = – 2 .(–1)
? k = 2
したがって、この方程式の根の合計が– 1 になるには、 kの値は2でなければなりません。