バスカラの公式は、 2 次方程式を解くための代替手段の 1 つです。しかし、この公式が数学者のバスカラによって開発されたものではないことはほとんど知られていません。実際、バスカラは、おそらく 11 世紀に数学者シダラによって書かれた文書の中で 2 次方程式を解く公式を発見しました。この公式はバスカラにちなんで名付けられたと考えられています。これは、彼が 2 次方程式が 2 つの結果を持ち得ることを最初に述べたためです。 2次方程式の解法を研究したことで有名なもう一人の数学者は、アル・ホワリズミです。
しかし、2次方程式とは何でしょうか?
これらは、指数 2 を持つ変数の出現を特徴とする代数的等式です。一般に、2 次方程式はax² + bx + c = 0の形式であると言えます。
文字xは未知数で、文字a、b 、 cは係数として機能する実数です。方程式が 2 次であるためには、 a ≠ 0である必要があります。さらに、係数bとcがゼロ(ゼロに等しい) の場合、方程式は不完全になります。 2 次方程式では、方程式の根と呼ばれる最大 2 つの結果が得られます。
2 次方程式が何であるかがわかったので、al-Khowarizmi の方法を使用して、「Bhaskara の公式」というタイトルの公式を導き出しましょう。 al-Khowarizmi のアイデアは、2 次方程式を 1 次方程式になるまで修正するというものです。標準的な二次方程式を考えてみましょう。
ax² + bx + c = 0
係数cを等式の 2 番目の要素に変更しましょう。
ax² + bx = – c
方程式の両辺に4a を掛けると、次のようになります。
4a. (ax² + bx) = 4a。 (-w)
4a²x² + 4abx = – 4ac
ここで、等式の両辺にb²を追加してみましょう。
4a²x² + 4abx + b² = – 4ac + b²
方程式の最初の要素は完全二乗三項式であり、次のように書き換えることができることに注意してください。
(2ax + b)² = b² – 4ac
b² – 4acの項が正であることを考慮すると、方程式の両側の平方根を抽出できます。
二乗項の平方根は項自体であるため、次のように結論付けることができます。
2ax + b =
ただし、平方根では 2 つの結果が得られ、1 つは正の結果、もう 1 つは負の結果が得られます。したがって、方程式は次のようになります。
2ax + b = ±
xの値を見つけたいので、等式の左側で x を分離する必要があります。このようにして、 bと2a を等式の 2 番目の要素に渡す必要があります。
2ax + b = ±
2ax = – b ±
通常、方程式b² – 4acの判別式を表すにはギリシャ文字Δ (デルタ) を使用します。しかし、なぜこの差別的な名前なのでしょうか？
なぜなら、 Δの値は方程式の根の数を定義するからです。 Δの値が 2 次方程式の結果にどのような影響を与えるかに注目してください。
Δ > 0 → 方程式には 2 つの根があります。
Δ = 0 → 方程式には根があります。
Δ < 0 → 方程式には実根がありません。
バスカラの公式からジラールの関係式が開発され、2次方程式を解く際に広く適用されました。
Bhaskara 公式を使用して 2 次方程式を解く例をいくつかご覧ください。
例 1: x² + 3x – 4 = 0
方程式の係数は、 a = 1、b = 3 、およびc = – 4です。これらの値を使用してΔ の値を計算してみましょう。
Δ = b² – 4.ac
Δ = 3² – 4.1.(– 4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
Δ > 0であるため、方程式には 2 つの根があると言えます。ここで Bhaskara の公式を使用して、判別式b² – 4ac をΔに置き換えてみましょう。
x = – 3 ± √ 25
2.1
x = – 3 ± 5
2
2 つの結果が得られます。
× 1 = – 3 + 5 = 2 = 1
2 2
× 2 = – 3 – 5 = – 8 = – 4
2 2
したがって、方程式x² + 3x – 4 = 0 の根はx 1 = 1およびx 2 = – 4になります。
例 2: 2x² – 4x = 0
方程式の係数は、 a = 2およびb = – 4です。 c = 0であるため、この方程式は不完全です。 Δ の値を計算してみましょう。
Δ = b² – 4.ac
Δ = (– 4)² – 4.2.0
Δ = 16 – 0
Δ = 16
Δ > 0であるため、方程式には 2 つの根があります。バスカラの公式を使用すると、次のようになります。
x = – (– 4) ± √16
2.2
x = 4 ± 4
4
× 1 = 4 + 4 = 8 = 2
4 4
× 2 = 4 – 4 = 0 = 0
4 4
したがって、 x 1 = 2およびx 2 = 0は、方程式2x² – 4x = 0の解になります。
例 3: x² – 2x + 16 = 0
方程式の係数は、 a = 1 、 b = – 2 、およびc = 16です。 Δ の値を計算してみましょう。
Δ = b² – 4.ac
Δ = (– 2)² – 4.1.16
Δ = 4 – 64
Δ = – 60
Δ < 0であるため、方程式には実根がありません。
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