クレイマーの法則は、同じ数の方程式と未知数を持つ線形システムを解くために使用される数学的ツールです。この方法を使用するには、システムの行列表現を使用し、いくつかの行列式を計算する必要があります。
クラマーの法則の概要
クレイマーの法則は、線形システムを解くための方法です。
この方法は、可能かつ決定されたシステム、つまり 1 つの解セットしか持たないシステムに対して有効です。
可能かつ決定的なシステムでは、係数行列の行列式は非ゼロです。
2×2 システムの場合、D が係数の行列である場合、D x はx の係数の列を独立項で置き換えることによって得られる行列、D yは t の係数の列を独立項で置き換えることによって得られる行列です。 。次に、クレイマーの法則によれば、次のようになります。
\(x=\frac{D_x}{D}\)と\(y=\frac{D_y}D\)
クラマーの法則とは何ですか?
クラマー則は、 n 個の方程式とn 個の未知数で構成される線形システムを解く方法です。線形システム (関連する一連の線形方程式) を解くことは、それぞれの未知数の値を見つけることを意味することに注意してください。
この手法が有効であるためには、未知数の係数によって形成される行列が非ゼロの行列式を持つ必要があります。これにより、システムが可能であり、決定されたこと、つまり、ソリューション セットが 1 つだけであることが保証されます。
次のシステムの Cramer の法則を見てみましょう。
\( \left \{ \begin{行列} a_1 x+b_1 y=c_1 \\a_1 x+b_1 y=c_1 \end{行列} \right. \)
係数行列 (システムの不完全行列とも呼ばれます) を考えてみましょう。
\(A= \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix}\)
\(det\ A≠0\)の場合、クラマーの法則によれば、システムの解は次のようになります。
\(x=\frac{D_x}D\)
\(y=\frac{D_y}D\)
D → 行列 A (係数行列) の行列式。
D x → A の x 係数の列を等式の右辺の独立項に置き換えることによって得られる行列の行列式。
D y → A の y 係数の列を等式の右辺の独立項に置き換えることによって得られる行列の行列式。
つまり、
\(D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\) 、 \(D_x= \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}\)および\(D_y= \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}\)
クラマーの法則はどのように使用されますか?
クラマーの法則を使用するには、必要な行列式を計算し、未知数の値を取得する必要があります。
例：
Cramer の法則を使用して、システムの解セットを見つけます。
\( \left \{ \begin{行列} 3x+y=9 \\x+4y=14 \end{行列} \right. \)
解決：
係数行列の行列式は null ではないことに注意してください。
\(D= \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}=11\)
したがって、クラマーの法則は有効です。したがって、
\(x=\frac{D_x}D\)と\(y=\frac{D_y}D\)
ここで、 D xと D yを見つけるだけです。
\(D_x= \begin{vmatrix} 9 & 1 \\ 14 & 4 \end{vmatrix}=22\)
\(D_y= \begin{vmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 14 \end{vmatrix}=33\)
それから、
\(x=\frac{D_x}D=\frac{22}{11}=2\)
\(y=\frac{D_y}D=\frac{33}{11}=3\)
システムの解セットは S = {2,3} です。
→ Cramer の法則を使用して線形システムを解く
◦ Cramer の法則を使用した 2×2 システム ソリューション
Cramer の法則を使用して 2×2 システムを解く別の例を見てみましょう。 Cramer の法則を使用して、次のシステムの解セットを決定します。
\( \left \{ \begin{行列} 2x+3y=16 \\-3x+7y=45 \end{行列} \right. \)
係数行列の行列式は null ではないことに注意してください。
\(D= \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 7 \end{vmatrix}=11\)
したがって、クラマーの法則は有効です。このような、
\(x=\frac{D_x}D\)と\(y=\frac{D_y}D\)
ここで、 D xと D yを見つけてください。
\(D_x= \begin{vmatrix} 16 & 3 \\ 45 & 7 \end{vmatrix}=-23\)
\(D_y= \begin{vmatrix} 2 & 16 \\ -3 & 45 \end{vmatrix}=138\)
それから、
\(x=\frac{D_x}D=\frac{-23}{23}=-1\)
\(y=\frac{D_y}{D}=\frac{138}{23}=6\)
この系の解集合は S = {-1,6} です。
◦ Cramer の法則を使用した 3×3 システム ソリューション
3×3 システムの場合、関係するすべての行列と行列式に 3 行 3 列があることを考慮する必要があります。したがって、 Sarrus の規則など、3×3 行列の行列式を求める手法を知る必要があります。
Cramer の法則を使用して、次のシステムの解セットを決定します。
\( \left \{ \begin{行列} x+2y+z=12 \\2x+3y-z = 6 \\ 3x+y+2z=16 \end{行列} \right. \)
ここで、x、y、z の値を探していることに注意してください。
係数行列の行列式は null ではないことに注意してください。
\(D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}=-14\)
したがって、クラマーの法則は有効です。このような、
\(x=\frac{D_x}D\) 、 \(y=\frac{D_y}D\)および\(z=\frac{D_z}D\)
\(D_x= \begin{vmatrix} 12 & 2 & 1 \\ 6 & 3 & -1 \\ 16 & 1 & 2 \end{vmatrix}=-14\)
\(D_y= \begin{vmatrix} 1 & 12 & 1 \\ 2 & 6 & -1 \\ 3 & 16 & 2 \end{vmatrix}=-42\)
\(D_z= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 12 \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 1 & 16 \end{vmatrix}=-70\)
それから、
\(x=\frac{D_x}D=\frac{-14}{-14}=1\)
\(y=\frac{D_y}D=\frac{-42}{-14}=3\)
\(z=\frac{D_z}D=\frac{-70}{-14}=5\)
この系の解集合は S = {1,3,5} です。
◦ Cramer の法則を使用した 4×4 システム ソリューション
クラマーの法則を使って 4×4 系を解くには、ラプラスの定理など、4 行 4 列の行列の行列式を計算する手法を知る必要があります。原理は小規模システムで使用されるものと同じです。
x、y、z、w が 4×4 システムの未知数である場合、クラマーの法則により、次のようになります。
\(x=\frac{D_x}D\) 、 \( y=\frac{D_y}D\) 、 \(z=\frac{D_z}D\)および\(w=\frac{D_w}D\ )