線形システムは、互いに関連する一連の線形方程式であり、同じ解を持ちます。変数の次数が 1 である場合、方程式は線形であると言います。
連立一次方程式を解く方法はいくつかあります。クラマーの法則など、連立系に関連付けられた行列を提示し、行列式を通じて未知数の可能な値を見つけます。また、変数を分離してこのシステムの一連の解を見つけることができる行列スケーリングもあります。
線形システムは、複数の未知数がある方程式を解くために使用されます。線形システムには 3 つのタイプがあることにも言及する価値があります。
可能なシステムが決定される。
不確定な可能性のあるシステム;
無理なシステム。
線形システムに関するまとめ
線形システムは一連の線形方程式です。
線形システムの解を見つけるには、数ある方法の中でも特に、Cramer の法則またはスケーリングを使用できます。
線形システムには 3 つの分類が考えられます。
可能なシステムを決定 (独自のソリューションがある)。
不定の可能なシステム (無限の解がある)。
不可能なシステム (解決策がありません)。
線形システムに関するビデオレッスン
一次方程式
線形システムとは何かを理解するには、まず線形方程式とは何かを確認することが重要です。線形方程式は、すべての次数が1である1 つ以上の変数を含む方程式です。一般に、一次方程式は次のように表すことができます。
|
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … a n x n = b |
a 1 、 a 2 、 a 3 、 … a n → 未知数の係数
x 1 、 x 2 、 x 3 、 … x n → 未知数
b → 独立項
例:
a) x + 2y = 8
b) 3x – 2x + 3z = 0
c) x + y – z + 2w = 3
線形システムとは何ですか?
私たちは線形システムとして、同じ変数を持つ一連の線形方程式を知っています。線形システムの解は、システムに含まれるすべての方程式の共通の結果である値のセットです。
例：
これは 2×2 線形システムです。なぜなら、その中で 2 つの方程式と 2 つの未知数を識別できるからです。このシステムでは、(5, 0) は両方の方程式を同時に満たすため、システムの解であると言えます。
最初の方程式 2x + 3y = 10 を考慮して、x = 5 および y = 0 を代入すると、次のようになります。
2 5 + 3 0 = 10 + 0 = 10
2 番目の方程式 – x + y = – 5 にも x = 5 と y = 0 を代入すると、次のようになります。
– 5 + 0 = – 5
したがって、順序対 (5, 0) は 2 つの方程式、つまり方程式系全体の解になります。
線形システムに関連付けられた行列
線形システムを行列に関連付けることができます。これは、採用したい解決方法に応じて一般的な方法です。次のシステムを考えてみましょう。
この場合、各変数の係数と独立項によって表される、このシステムに関連付けられた完全な行列を表すことができます。
独立項の列を除いた係数のみで表される不完全行列もあります。
線形システムの分類
システムには、上で示したような単一のソリューションが常に存在するとは限らないことがわかります。実際、線形システムには 3 つの分類が考えられます。システムは、決定可能、不決定、不可能に分類されます。
可能な決定システム:単一の解決策があります。
不定可能系:無限の解があります。
不可能なシステム:解決策がありません。
以前に提示されたシステムは、決定された可能なシステムでした。ここで、不確定な可能性のあるシステムの例を見てみましょう。
方程式が互いに倍数である場合、システムは不定になる可能性があります。 2 番目の方程式のすべての項に 2を掛けると、最初の方程式が得られることに注意してください。最初の方程式を満たす順序ペアは、2 番目の方程式も満たします。例えば：
(10, 0) は 2 つの方程式の解です。
(0, 5) は 2 つの方程式の解です。
(6, 2) は 2 つの方程式の解です。
この系は不定である可能性があるため、無限に多くの解を列挙することができます。
さて、不可能なシステムの例を見てみましょう。
これは不可能なシステムです。等価になる前に、2 番目の式は最初の式の 2 倍であることに注意してください。ただし、このパターンは独立した期間では繰り返されません。この場合、2 番目の方程式のすべての項を 2 で割ると、次の系が求められます。
x + y が 10 と 2 に同時に等しくなることは不可能です。したがって、この方程式系には解がなく、不可能な系となります。
線形システムを解くにはどうすればよいでしょうか?
線形システムを解くにはいくつかの方法がありますが、そのうちの 2 つだけを紹介します。Cramer の法則とスケーリングです。
クレーマーの法則
Cramer の規則を使用して 3×3 システムを解くには、不完全行列とその変動の行列式を計算する必要があります。私たちはしなければならない：
D → 不完全行列の行列式。
D x → システムの不完全行列の行列式。x の列を独立項の列に置き換えます。
D y → システムの不完全行列の行列式。y 列を独立項の列に置き換えます。
D z → システムの不完全行列の行列式。z 列を独立項の列に置き換えます。
例：
第 1 ステップ: 不完全行列の行列式を計算します。
D = 2 ⋅ (−1) ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ (−1) ⋅ (−1) − 3 ⋅ 1 ⋅ 2 − (−2 ) ⋅ 1 ⋅ 1 = − 3
第 2 ステップ: 次に、最初の列をシステムの独立項に置き換え、行列式 (この場合は D x ) を再度計算します。
D x = 1 ⋅ (−1) ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 2 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 − (− 2) ⋅ 2 ⋅ 1 = −3
第 3 ステップ: 不完全行列の 2 番目の列を独立項に置き換え、行列式 D yを計算します。
D y = 2 ⋅ 2 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 ⋅ (−1) − 3 ⋅ 1 ⋅ 2 − (−2) ⋅ 1 ⋅ 1 = −12
第 4 ステップ: 不完全行列の 3 列目を独立項に置き換え、行列式 D zを計算します。
D z = 2 ⋅ (−1) ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ (−1) ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = −15
これで、x、y、z の値を見つけることができます。
したがって、この系の解の集合は (1, 4, 5) であることがわかります。
エスカレーション
スケーリングは、線形システムを解くために使用されるもう 1 つの一般的な方法です。行列のスケーリングは、システム係数の結果がゼロになるように行列の行間で演算を実行することで構成されます。
例：
最初のステップ: システムに関連付けられた完全なマトリックスをリストします。
2 番目のステップ:最初の列の項21と31が 0 に等しくなるように、行間で演算を実行します。これを行うには、次のことを考慮します。
L1 = ライン 1
L 2 = ライン 2
L3 = ライン 3
したがって、行 2 を次のように置き換えます。 L 2 = –2L 1 + L 2
a 21 = –2 · 1 + 2 = 0
a 22 = –2 · 2 + 1 = –3
a 23 = –2 · (-3) + 1 = 7
24時= –2 · 10 + 3 = –17
2 行目に加えて、3 行目を次のように置き換えてみましょう: L 3 = 3L 1 + L 3
a 31 = 3 · 1 – 3 = 0
a 32 = 3 · 2 + 2 = 8
a 33 = 3 · (-3) + 1 = – 8
a 34 = 3 · 10 – 6 = 24
3 行目の項を分析すると、8 で割ることによって単純化できることがわかります。つまり、次のようになります。
a 31 = 0 : 8 = 0
a 32 = 8 : 8 = 1
a 33 = – 8 : 8 = 1
a 34 = 24 : 8 = 3
マトリックスで見つかった値を置き換えると、次のようになります。
そこで、三角行列を取得するために 3 行目の y 係数をリセットしましょう。これを行うには、L 3 をL 3 → L 2 + 3L 3に置き換えます。
a 31 = 0 + 3 · 0 = 0
a 32 = –3 + 3 · 1 = 0
a 33 = 7 + 3 · (-1) = 4
a 34 = –17 + 3 · 3 = –8
新しいエシュロン マトリックスは次のようになります。
ここで、この行列をシステムとして書き直すことができます。
したがって、3 番目の方程式により、次のようになります。
4z = –8
z = – 8 : 4
z = –2
2 行目の z を – 2 に置き換えると、次のようになります。
–3y + 7 (-2) = –17
–3y – 14 = –17
–3y = –17 + 14
–3y = –3
y = –3 : (–3)
y = 1
最後に、1 行目に y = 1 と z = – 2 を代入すると、次のようになります。
x + 2 · 1 – 3 (-2) = 10
x + 2 + 6 = 10
x – 8 = 10
x = 10 – 8
x = 2
したがって、この方程式の解のセットは (2, 1, –2) であると結論付けます。