平方補完法は、正規 (または縮小) 形式で2 次方程式の解を求めるために使用できる代替方法です。練習次第では、この方法を使用すると、一部の方程式の結果を暗算だけで計算することが可能です。そのためには、注目すべき製品が何か、二次方程式の記述方法、およびこれら 2 つの要素の間に存在する関係を知ることが重要です。
二次方程式と注目製品の関係
二次方程式は正規形で次のように記述されます。
ax 2 + bx + c = 0
この形式は、完全二乗三項式に非常に似ています。これは、注目すべき積の 1 つである和の二乗または差の二乗の結果です。そのうちの最初のものに注目してください。
(y + k) 2 = y 2 + 2xk + k 2
a = 1、b = 2k、c = k 2の場合、次のように書けることに注意してください。
(y + k) 2 = y 2 + 2xk + k 2 = ax 2 + bx + c
このようにして、二次方程式の縮小形式の項を注目すべき積と比較することによって二次方程式を解くことができ、 Bhaskaraの解決法を回避することができます。これは 2 つのケースで行われます。最初のケースでは、二次方程式は完全二乗三項式であり、顕著な積の直接の結果です。 2 番目の場合、二次方程式はそうではありません。
最初のケース: 完全二乗三項式
二次方程式が完全二乗三項式の場合、それを因数分解形式で書くことができます。つまり、その元になった注目すべき積に戻ることができます。この方程式を見てください。
× 2 + 8x + 16 = 0
これは完全二乗三項式です。これを証明する方法は、ここをクリックすると見つかります。つまり、中間項は、第 1 項の根の 2 倍と第 2 項の根の積に等しくなります。これが起こらない場合、観察された発現は注目すべき製品の結果ではありません。
この方程式を生成した注目すべき製品が次のものであることがわかっていれば、この方程式を解くのは簡単です。
(x + 4) 2 = x 2 + 8x + 16 = 0
したがって、次のように書くことができます。
(x + 4) 2 = 0
次のステップでは、方程式の両辺の平方根を計算します。ラジカルの特性により、左側は累乗のまさに基礎となることに注意してください。ゼロの根はゼロであるため、右辺はゼロであり続けます。
√[(x + 4) 2 ] = √0
x + 4 = 0
ここで、方程式に関する知識の使用を終了するだけです。
X+4 = 0
x = – 4
二次方程式では、実数のセット内で 0 から 2 の結果が得られます。上の方程式には 1 しかありません。実際には、完全二乗三項式であるすべての方程式は実際の結果を 1 つだけ持ちます。
2 番目のケース: 二次方程式は完全な二乗三項式ではありません
方程式が完全二乗三項式でない場合も、同じ原理で解くことができます。最初に簡単な手順を実行するだけで済みます。例を見てください。
× 2 + 8x – 48 = 0
この方程式が完全二乗三項式になるには、最後の項が – 48 ではなく + 16 でなければなりません。この数値が方程式の左側にある場合、それを注目すべき積として記述し、次と同様の方法で解くことができます。前の例で行われたこと。この場合に実行する手順は、まさにこの + 16 が表示され、-48 が表示されなくなります。
これを行うには、方程式の両辺に 16 を加算するだけです。これは方程式の特性の 1 つであるため、最終結果は変わりません。
× 2 + 8x – 48 + 16 = 0 + 16
方程式を完全二乗三項式に変換するには、左側の -48 を削除するだけです。これを行う方法も方程式の性質の 1 つです。ご注意ください：
× 2 + 8x – 48 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 16 + 48
× 2 + 8x + 16 = 64
次に、左辺を完全二乗三項式として記述し、両側の平方根を計算します。
× 2 + 8x + 16 = 64
(x + 4) 2 = 64
√[(x + 4) 2 ] = √64
今回は等式の右辺がゼロではないため、結果がゼロ以外になることに注意してください。方程式では、平方根の結果は負または正になることがあります。したがって、次のように±記号を使用します。
x + 4 = ± 8
これは、この方程式を正の 8 について 1 回、負の 8 について 1 回解く必要があることを意味します。
X + 4 = 8
x = 8 – 4
x = 4
または
x + 4 = – 8
x = – 8 – 4
x = – 12
したがって、方程式 x 2 + 8x – 48 = 0 の根は、4 および – 12 となります。