直角三角形は、その内角の 1 つが 90°、つまり直角である三角形です。三角形は平面幾何学で最も研究されている多角形で、特に直角三角形は辺と角度の間に特定の関係があります。これらの関係の 1 つはピタゴラスの定理で、この図の辺間の関係を示します。
ピタゴラスの定理に加えて、計量関係や三角比など、直角三角形における三角比のサイン、コサイン、タンジェントとの重要な関係もあります。他の三角形に使用されるものと同じ、面積を計算するための公式があります。周囲長を計算するには、辺を合計するだけです。
続きを読む:三角法の基本的な関係—比率を関連付ける等式: サイン、コサイン、タンジェント
直角三角形についてのまとめ
内角が90°、つまり直角の三角形です。
ピタゴラスの定理は、直角三角形の辺間の関係です。
面積を計算するには、底辺に高さを掛けて 2 で割ります。
未知の辺の長さを調べるには、計量関係と三角法を使用することもできます。
直角三角形の特徴
直角三角形は、3 つの辺と 3 つの角を持つ多角形で、内角の 1 つが 90° 、つまり直線です。したがって、他の角度は鋭角、つまり 90° 未満になります。三角形では、常に 90 度の角度の反対側にある最大の辺は斜辺と呼ばれ、他の辺は脚として知られています。
CAB 角度は 90°です。
辺CBは長さaの斜辺です。
辺 AC と AB は脚であり、長さは b と c で表されます。
このトピックの内容について詳しく知りたい場合は、「直角三角形の構成要素」を参照してください。
直角三角形の周囲長
他の多角形と同様に、直角三角形では、周囲長はすべての辺の長さの合計になります。したがって、辺が a、b、c である直角三角形があるとすると、その長さは次のように計算されます。
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P = a + b + c |
直角三角形の面積
どの三角形でも、その面積を計算するには、底辺に高さを掛けて2で割ります。他の三角形と比較した場合、直角三角形の唯一の特徴は、脚が直角を形成していることがわかっているため、その高さが脚の 1 つと一致することです。したがって、長さ a の斜辺と長さ b と c の脚を持つ三角形の面積を計算するには、次の式を使用します。
例:辺が 20 cm、21 cm、29 cm の直角三角形がある場合、その周長と面積はどのような値になりますか?
解決：
境界から始めて、次のことがわかります。
P = 29 + 21 + 20 = 60 cm
さて、面積を計算するには、最長の辺が斜辺であることがわかっているので、それぞれ 21 cm と 20 cm の他の 2 つの辺を使用して計算してみます。つまり、次のようになります。
したがって、面積は210平方センチメートルになります。
ピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理は、直角三角形の辺間の関係です。定理は、斜辺の 2 乗が脚の 2 乗の合計に等しいというものです。斜辺 a、辺 b および c を持つ直角三角形を考えると、次のようになります。
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a² = b² + c² |
例:次の直角三角形の x の値を求めます。
解決：
ピタゴラスの定理を適用すると、次のようになります。
x² = 6² + 8²
x² = 36 + 64
x² = 100
x = √100
x = 10
ピタゴラスの定理のビデオレッスン
直角三角形の三角法
直角三角形三角法は、直角三角形の辺と角度の関係を研究する数学の分野です。この研究では、三角比がサイン、コサイン、タンジェントであり、三角形の辺間の比であることを学びます。それぞれを知る前に、角度の隣接する辺と反対側が何であるかを理解することが重要です。
斜辺は 90° の角度の反対側であることがわかります。この場合、それはセグメント BC です。辺AB、辺ACは辺と呼ばれ、角度によって反対側の辺にも隣接する辺にもなります。
角 α では、辺 AC は角の反対側 (角に面しているため)、辺 AB は角に隣接する辺 (角を形成するセグメントの 1 つであるため) です。
角 β では、辺 AB はその反対側 (角に面しているため)、辺 AC はそれに隣接する辺 (角を形成するセグメントの 1 つであるため) です。
サイン、コサイン、タンジェントの比は次のとおりです。
三角比を使用して、直角三角形の未知の辺の長さを求めます。これを行うには、 注目すべき角度、30°、45°、60°のサイン、コサイン、タンジェントの値が記載された表を参照してください。
辺と顕著な角度が与えられた三角形の三角比の値がわかれば、三角法に基づいて直角三角形のすべての辺を見つけることができます。
例: x の値を求めます。
値 x を見つけたいとします。ここで、x は角度 B に隣接する辺であり、この三角形の斜辺の値もわかっているため、隣接する辺を斜辺に関連付ける三角比はコサインになります。 60°の余弦が 1/2 に等しいことがわかっているので、次のようになります。
直角三角形の計量関係
名前が示すように、メトリクス関係は、直角三角形のセグメントを関連付ける式です。
メトリックの関係は次のとおりです。
a² = c² + b²
b² = a · n
c² = a · m
h² = m · n
a = m + n
a・h = b・c