三角法の基本的な関係は、基本的な 三角比、つまりサイン、コサイン、タンジェントを関係付けることができる等式です。中間三角法の公式と計算の大部分に関与しているため、この名前が付けられた 2 つの基本的な関係があります。
三角法の 2 つの基本的な関係は次のとおりです。
tgα = sinα
コスα
そして：
sin 2 α + cos 2 α = 1
これらの関係のそれぞれを以下に示しますが、まず、三角関数サイクルに関する情報を知っておく必要があります。
三角関数のサイクル
三角関数サイクルは、デカルト平面に構築された半径 1、中心 (0, 0) の円です。この円周上に円弧を構築することができ、これは角度に関連付けられます。円弧と角度は、x 軸、y 軸、または接線軸上で得られる長さの測定値に関連します。
x 軸はコサイン軸、y 軸はサイン軸、そして下の図にある 3 番目の直線は接線軸として知られています。
周期の詳細と、角度が実数および三角比の測定値にどのように関連付けられるかについては、記事「三角関数の周期」を参照してください。
最初の関係のデモンストレーション
三角関数サイクルで、点 P をマークし、接線軸をサイクルの中心に接続する直線を描きます。この直線は、作成される角度の頂点でなければならず、こうして角度 α を形成します。
この構成でも、サイン軸とコサイン軸上の点 P の延長線、つまり点 E と D をマークします。次の図は、三角関数の関係の 1 つを決定するために使用される最終的な構成を示しています。
三角形 OAB と OPD は類似していることに注意してください。これは、側面の寸法が比例していることを意味します。これは、これらが両方とも直角三角形であり、直角に加えて角度 α を共有するために発生します。したがって、角度対角度の場合、それらは類似していると考えられます。
したがって、次の比率を書くことができます。
AB = OB
PDOD
セグメント OD は cosα に等しいことに注意してください。 PD セグメントが sinα に等しいこと。セグメント OB = 1 は円の半径であるため、そして、線分 AB = tgα です。これらの値を上記の比率で置き換え、結果を単純化すると、次のようになります。
tgα = sinα
1cosα
tgα = sinα
コスα
したがって、これは最初の基本的な関係の実証です。
2番目の基本的な関係
2 番目の基本的な関係を実証するには、セグメント OP がその半径の 1 つになるように、サイクル上に点 P を作成します。次の画像の角度 α に注目してください。
この構造により直角三角形ＯＰＤが形成される。このセグメントは円の半径であるため、測定値 OP = 1、OD = cosα、PD = sinα であることがわかっているため、ピタゴラスの定理を次のように使用できます。
OP 2 = OD 2 + PD 2
1 2 = cosα 2 + sinα 2
つまり:
cosα 2 + sinα 2 = 1 2
どちらのデモンストレーションも、三角関数のサイクルを事前に知っていることに依存します。それを知れば、それらは簡単であり、高度な計算に依存しないことがわかります。
このテーマに関するビデオレッスンをぜひご覧ください。