多角形は、共通点として端部のみを持つ直線セグメントによって形成される、閉じた平坦な幾何学的図形です。頂点、辺、内角、外角、対角線で構成されます。それらの特性に応じて、凸型または凹型に分類できます。辺と角度の寸法がすべて同じである場合、それらは正多角形と呼ばれます。
持っている面の数に応じて特別な名前が付けられます。多角形の周囲長や面積を計算することができ、凸多角形の場合は内角と外角の和も計算する方法があります。
ポリゴンについてのまとめ
ポリゴンは、直線セグメントで形成された閉じた平面図形です。
その要素は、頂点、辺、角度 (内部および外部)、および対角です。
凸面または凹面に分類できます。
それらは規則的または不規則に分類できます。
三角形と四角形は、それぞれ 3 辺と 4 辺を持つ多角形です。
5 つ以上の辺を持つ多角形には、辺の数に応じて名前が付けられます。
外周は多角形の辺の合計であり、面積はその表面全体の測定値です。
n辺の凸多角形の内角の合計の公式は、 \(S_n=(n-2)⋅180°\)です。
凸多角形の外角の和は常に 360° になります。
ポリゴンに関するビデオレッスン
ポリゴンとは何ですか?
多角形は、端で接続された直線セグメントによって形成される閉じた平面図形です。ポリゴンという言葉は、ギリシャ語起源の 2 つの単語、 poly (さまざまな) とgonía (角度) の組み合わせに由来しています。
図形が多角形として分類されるためには、それを形成する直線セグメントの端のみが相互接続されていると考えてみましょう。したがって、閉じていない図形、線分が交差して構成されている図形、曲線を含む図形は多角形とは呼びません。
ポリゴンの要素
多角形は直線セグメントで閉じられた平らな図形であるため、頂点、辺、内角、対角線、外角などの主要な要素を強調表示できます。
上の図では、次のような表現があります。
頂点:点A、B、C 、 Dのそれぞれ。
辺:直線セグメント\(\overline{AB}\) 、 \(\overline{BC}\) 、 \(\overline{CD}\) 、および\(\overline{DA}\) 。
内角:の和集合によって形成される内部開口部\(\hat{A}\) 、 \(\hat{B}\) 、 \(\hat{C}\) 、および\(\hat{D}\)多角形の隣接する 2 つの辺。
対角線:端が多角形の隣接しない 2 つの頂点である直線セグメントです。
外角:多角形の内角に隣接する補助角です。
上の図では、各外角が対応する内角を補足している、つまり、それらの合計が 180° の角度になることがわかります。
注: 多角形には、同じ数の頂点、辺、角度 (内部と外部) があります。たとえば、三角形には 3 つの頂点、3 つの辺、および 3 つの角 (内側と外側) があります。
ポリゴンの分類は何ですか?
多角形は、その特徴に従って、または辺や角度の測定に応じて分類することができます。以下の最も一般的な分類を参照してください。
凸多角形と凹多角形
多角形は、凸面または非凸面 (凹面とも呼ばれます) に分類できます。
凸状であるためには、多角形の任意の 2 点を、その多角形に完全に含まれる直線セグメントで接続できる必要があります。これが不可能な場合、この多角形は凸状ではないため、凹状の多角形になります。
等角多角形
多角形の各内角の尺度が他の内角の尺度と同じである場合、多角形は等角として分類されます。
たとえば、正方形はすべての内角が 90°であるため、等角多角形です。正三角形は、それぞれの内角が 60°であるため、等角多角形でもあります。
正多角形と不規則多角形
凸多角形は、その辺と内角の測定値が他の辺と内角の測定値と一致する場合、正多角形であると言われます。
したがって、多角形が正則ではないためには、一方の辺または角度が他方と同じ測定値を持たないだけで十分であり、そのため不規則な多角形とみなされます。
注: 正多角形は等角多角形ですが、等角多角形は正多角形ではない場合があることに注意してください。この例としては、すべての内角が同じ寸法 (90°) である長方形がありますが、辺の寸法が異なる場合があります。
ポリゴンの命名法は何ですか?
3 つの辺を持つ多角形は三角形と呼ばれ、4 つの辺を持つ多角形は四角形と呼ばれます。これらには、それらを区別するいくつかの特徴があるため、多くの異なる命名法 (特に、正方形、長方形、ひし形、台形、平行四辺形など) があります。
ただし、前に見たように、多角形という言葉は多くの角を持つ図形を指すため、多角形は角の数に応じて名前が付けられます。
この命名法を構成するには、角度 (または辺) の数を示す接頭辞が使用され、この名前は接尾辞「gono」で完成します。
例えば：
5 辺の多角形:ペンタ+ゴノ= 五角形
6 辺の多角形: 6 角形+ 5 角形= 6 角形
7 辺の多角形:七角形+五角形= 七角形
ポリゴンの周囲長
多角形の周囲長は、そのすべての辺の寸法の合計に相当します。したがって、この合計を計算するには、多角形のすべての辺の寸法を知る必要があります。あるいは、これらの寸法を取得する方法が存在します。
例：長さ5cm、幅3cmの長方形の周囲長を計算します。
長方形は、向かい合う辺が同じサイズの 4 辺を持つ多角形です。したがって、一辺の寸法が 5 cm の場合、その反対側の寸法も同じになります。同様に、片側の寸法が 3 cm の場合も同様です。
したがって、長方形の周囲長は次の式で求められます。
長方形の周囲= 5 + 5 + 3 + 3 = 16 cm
ポリゴンの面積
多角形の面積は、多角形が占める表面の測定値です。一般に、その面積を求めるには、面積に依存する一般的な式に加えて、底辺と高さ (三角形と長方形の場合)、または対角線の寸法 (菱形の場合) など、いくつかの特定の寸法を知る必要があります。問題のポリゴン。
例1:底辺が5cm、高さが3cmの長方形の面積を計算します。
長方形の底辺と高さの寸法がわかります。したがって、長方形の面積の公式を使用して、その面積を計算できます。
長方形の面積= \(b⋅h=(5\ cm) ⋅ (3\ cm)=15\ cm^2\)
例 2:以下の多角形の面積を計算します。
この多角形は、一般的ではありませんが、他の 2 つのより一般的な多角形に分割できることに注意してください。
したがって、元の多角形の面積を計算するには、それを分割した小さな多角形、つまり正方形と三角形の面積を個別に計算するだけです。
正方形の一辺が 3 cm であることがわかっているので、その面積は次のように求められます。
正方形の面積 = \(b⋅h=l⋅l=3⋅3=9\ cm^2\)
三角形の底辺は3cm、高さは2cmです。したがって、その面積は次のように求められます。
三角形の面積= \(\frac{b⋅h}2=\frac{3⋅2}2=3\ cm^2\)
したがって、元の多角形の面積は\(9+3=12\ cm^2\)となります。
多角形の内角の合計
凸多角形の内角の和を求める公式があります。
この合計を求めるには、 nで表される図形の辺の数を以下の式に代入するだけです。
内角の合計= \(S_n= (n-2)⋅180°\)
例:六角形の内角の合計はいくらですか?
六角形は 6 つの辺を持つ多角形です。したがって、式に n = 6 を代入すると、その内角の合計が求められます。
\(S_n= (n-2)⋅180°\)
\(S_n= (6-2)⋅180°\)
\(S_n= 4⋅180°= 720°\)
多角形の外角の合計
凸多角形が何であっても、その外角の合計は常に 360° に等しくなります。