アルガンド ガウス平面は、複素数を幾何学的に表現するために使用されます。数学者のアルガンとガウスの貢献により、複素数の法と偏数の計算など、これらの数値についてのより詳細な研究を実行することが可能になりました。
この平面は複素平面としても知られています。代数式 z = x + yi (x は実数部、y は虚数部) の複素数が与えられると、複素平面では点として表現されます。 Z(x,y)。アルガン-ガウス平面における複素数の表現は、数値 z の接辞または幾何学的イメージと呼ばれます。
複素数の幾何学的表現
私たちはアルガン・ガウス平面、または複素平面として知っています。これは 2 つの直交する軸によって形成される平面であり、これを使用して複素数の幾何学的表現を作成し、結果として解析幾何学における解析など、これらの数に関する重要な概念を開発します。 、複素数の三角関数の公式の開発と引数と加群の研究。
複素数は、負の数の平方根を使って方程式を解く試みとして研究されました。数学者は複素数の研究を発展させ、複素数を ia √-1 と呼び、z = x + yi のように代数的に表しました。
アルガン・ガウス平面で複素数を表すには、横軸が複素数の実部の軸、縦軸が虚部の軸であると定義されているため、複素数 z = x + yi は点 (x,y) で表されます。
接辞
アルガン-ガウス平面内の複素数を表す点は、複素数 z の接辞またはイメージと呼ばれます。これらの接辞の表現には、次の 3 つの可能性があります。
虚数部がゼロに等しい場合、複素数は実数になる可能性があります。
複素数は、その実部がゼロに等しい場合、純粋な虚数になる可能性があります。
最後に、実数部と虚数部がゼロ以外であれば、任意の複素数にすることができます。
複素数
複素数z = x + yi を複素平面で表現するのは非常に簡単です。各軸は実数で構成されているため、その点を表すアルガン・ガウス平面内の点 Z (x,y) の位置を見つけるだけです。
この複素数が純粋な虚数でも実数でもない、つまり x と y が 0 ではないと仮定すると、点 Z は複素平面の四分円の 1 つにある点になります。
純粋な想像上の
複素数は、その実部が 0 に等しい場合、つまり z = yi の場合、純粋虚数として知られます。これが起こると、この純粋虚数をアルガン・ガウス平面で表すとき、この点は Z(0,y) 型の点になります。この点は垂直軸に属します。つまり、純粋な虚数複素数は平面の虚数部の軸に属します。この数には実数部がないため、これは完全に理にかなっています。
実数
純粋虚数に類似した推論を使用すると、複素数が実数でもある場合、その虚数部は 0 に等しいことを意味するため、この数値は代数表現 z = x になります。その虚数部はゼロに等しいため、点 Z(x,0) で表されます。 NULL の虚数部を持つ複素数は、実数部の軸上の点で表されます。
例:
ここで、アルガン-ガウス平面での複素数の表現を見てみましょう。
複素数の係数
複素平面における複素数の表現を理解すると、複素数の係数の概念を発展させることができます。一連の実数を研究すると、法は数値が 0 までの距離に他ならないことがわかります。
モジュールの概念を複素数に拡張すると、モジュールは複素数の実数 0 からの距離でもありますが、実数部と虚数部で構成される数値を扱うため、計算するには複素数のモジュール 、点 Z(x,y) から点 O (0,0) までの距離を求めてみましょう。
|z| に注意してください。は三角形の斜辺にすぎず、これによりピタゴラスの定理を使用して加群を計算することが可能になります。
|z|² = x² + y²
例：
複素数 z = 3 + 4i の法を計算します。
|z|² = 3² + 4²
|z|² = 9 + 16
|z|² = 25
|z| = √25
|z| = 5
複素数からの引数
複素数の引数として、ベクトル OZ がデカルト平面内で水平軸となす角度がわかります。
角度の値を求めるには、 三角比のサインとコサインを使用します。
サインとコサインの値を求め、求めた値を引数とする角度θを求めてみましょう。
例：
複素数 z = 1 + i の引数を計算します。
まず |z| の値を計算しましょう。
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1 + 1
|z|² = 2
|z| = √2
|z| の値がわかったので、次のようになります。
見つかった値と等しいサインとコサインの値を持つ角度は 45 度であることがわかります。度またはラジアンで表すことができます。したがって、この複素数の引数は次と等しくなります。
