実数は集合 R の要素であり、有理数 (Q) と無理数 (I) の集合間の和集合によって形成されます。これは、一連の実数が日常生活で使用されるほとんどの数値を網羅していることを意味します。
実数の例としては、整数、分数、不正確な根などがあります。
実数についてのまとめ
- 有理数のセットと無理数のセットの間の和集合は、実数のセットを形成します。
- 実数の集合は文字 R で表されます。
- R のサブセットは、自然数 (N)、整数 (Z)、有理数 (Q)、および無理数 (I) のセットです。
- 数直線上の各点は、実数の位置を示します。
実際の数字は何ですか?
すべての有理数と無理数は実数です。したがって、実数を理解するには、集合 (Q) と (I) を知ることが不可欠です。
例:
- 3 は有理数であるため、3 は実数です。
- -10 は有理数であるため、-10 は実数です。
- \(\sqrt5\)は無理数であるため、 \(\sqrt5\) は実数になります。
- π は無理数であるため、π は実数です。
実数のセット
実数のセットは文字 R で表され、有理数のセット (Q)と無理数のセット (I) の和集合に対応します。
\(R=Q\カップ I\)
したがって、例で観察したように、要素が実数のセットに属している場合、それは有理数のセットまたは無理数のセットに属している必要があります。
実数のサブセット
有理数のセット (Q) には、自然数のセット (N)と整数のセット (Z)という 2 つの重要なサブセットがあることに注意してください。 R= Q ∪ Iなので、(N) と (Z) も R の部分集合です。
したがって、 R の主なサブセットは次のとおりです。
- (N) – 自然数のセット。
- (Z) – 整数のセット。
- (Q) – 有理数のセット。
- (I) – 無理数のセット。
R の他のサブセット:
- R* – ゼロ以外の実数のセット。
- R+ – 正の実数のセット。
- R- – 負の実数のセット。
実数を数直線上で表現する
実数直線とも呼ばれる数直線は、原点と呼ばれるゼロを基準としたすべての実数の位置を表します。ゼロの左側には負の数があり、右側には正の数があり、左から右へ昇順に分布しています。
実数を使った演算
実数を使用した演算は、前述の他の数値セットの数値を使用した演算と同じ構造に従います。それぞれの操作の例を見てみましょう。
- 足し算： \(60+4=64\)
- 引き算: \(22-3=19\)
- 乗算: \(1.5\cdot7=10.5\)
- 除算: \(-\frac{5}{11}\div\frac{1}{8}=-\frac{40}{11}\)
- 増強: \(6^5=7776\)
- 放射線: \(\sqrt{225}=15\)
実数にはどのような性質があるのでしょうか?
可換性
可換性のプロパティは、加算および乗算の演算に有効です。 aとb が実数の場合、次のようになります。
\(a+b=b+a\ \)
\(a\cdot b=b\cdot a\)
例:
\(2+3=5 および 3+2=5\)
\(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6} および \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\フラク{1}{6}\)
結合性
結合プロパティは加算演算と乗算演算に有効です。 a 、 b 、 cが実数の場合、次のようになります。
\(a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c\)
\(a\cdot\left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c\)
例:
\(0.2+\left(1.4+0.8\right)=2.4 および \left(0.2+1.4\right)+0.8=2.4\)
\(-3\cdot\left(7\cdot1\right)=-21 および \left(-3\cdot7\right)\cdot1=-21\)
中立的な要素
ニュートラル要素プロパティは、加算および乗算演算に有効です。 a が実数の場合、次のようになります。
\(a+0=a\)
\(a\cdot1=a\)
例:
\(5+0=5\)
\(\8\cdot1=8\)
反対側の要素
反対側の要素のプロパティは、加算および乗算の演算に有効です。 a が実数の場合、次のようになります。
\(a+\left(-a\right)=0\)
\(a\cdot\frac{1}{a}=1\)
例:
\(0.8+\左(-0.8\右)=0\)
\(20\cdot\frac{1}{20}=1\)
分配的
aとb が実数の場合、次のようになります。
\(a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c\)
例：
\(\sqrt2\cdot\left(3+7\right)=10\sqrt2 および \sqrt2\cdot3+\sqrt2\cdot7=10\sqrt2\)