円錐台の体積は、この固体が占める空間またはその貯蔵容量です。円錐を平面で分割すると、小さな円錐と錐台の2 つの固体に分解されます。したがって、円錐台の体積は、元の円錐と、セクションの後に最初から分解された小さな円錐との間の差になります。
円錐台の体積を計算するには、円錐台の半径と高さの測定値を知る必要があります。
錐台ボリュームの概要
- 円錐台の体積は、円錐台が占める空間を指します。
- この体積を決定するには、底面の半径と高さが必要です。
- 円錐台の体積の公式は、 \(V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)\)です。
円錐台の体積に関するビデオ レッスン
円錐体幹要素
円錐台は、円錐と平面 (その底面に平行または非平行) の間の部分から始まります。この切断により、円錐を他の 2 つの空間図形に分解できます。1 つは元の円錐よりも小さい円錐で、もう 1 つは円錐台であり、2 つの非合同な円形の底面から構成される固体です。
この分解により、円錐台の主な要素は、その高さとその底面を構成する円の測定値に関連します。
- 短底半径 ( r ):短底円の半径の測定値です。
- 主塩基の半径 ( R ):主塩基の円の半径の測定値です。
- 高さ (h):円錐台の小さい底面と大きい底面の間の垂直距離です。
円錐台の体積を求める公式は何ですか?
円錐台の体積の式を決定するには、その元となる円錐台の分解を分析する必要があります。
したがって、円錐台の体積を計算するには、その元になった大きな円錐台の体積を計算し、この値から固体の分解で現れる小さな円錐台の体積を引くだけです。
したがって、円錐台の体積は次の関係式で与えられます。
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錐体の体積＝大きい錐体の体積－小さい錐体の体積 |
円錐の体積は次の式で与えられることがわかります。
\(V=\frac{1}{3}\pi R^2H\ \)
円錐台の体積は次の式で与えられます。
\(V_T=\frac{1}{3}\pi R^2H-\frac{1}{3}\pi r^2(Hh)\)
\(V_T=\frac{1}{3}\pi\left[R^2H-r^2(Hh)\right]\)
\(V_T=\frac{1}{3}\pi\left(R^2H-r^2H+r^2h\right)\)
\(V_T=\frac{1}{3}\pi\left[(R^2-r^2)\ H+r^2h\right]\)
さて、式の推論を終えるために、式に置き換えるために、円錐の高さHを円錐台の測定値に関連付けます。これを行うには、元の円錐の子午線セクションの特定の部分を観察します。
この場合、そのセクションに表示されるメジャーを次のように比例的に関連付けることができます。
\(\frac{r}{R}=\frac{Hh}{H}\)
\(R(Hh)=rH\)
\(RH-Rh=rH\)
\(RH-rH=Rh\)
\((Rr)H=Rh\)
\(H=\frac{Rh}{Rr}\)
したがって、この関係を式のH の代わりに代入すると、次のようになります。
\(V_T=\frac{1}{3}\pi\left[(R^2-r^2)\frac{Rh}{Rr}+r^2h\right]\)
因数分解\(R^2-r^2=(R+r)(Rr)\)を展開すると、次のようになります。
\(V_T=\frac{1}{3}\pi\left[(R+r)(Rr)\frac{Rh}{Rr}+r^2h\right]\)
\(V_T=\frac{1}{3}\pi\left[\left(R+r\right)Rh+r^2h\right]\)
\(V_T=\frac{1}{3}\pi\left[R^2h+Rrh\ +r^2h\right]\)
\(V_T=\frac{1}{3}\pi h\left[R^2+Rr\ +r^2\right]\)
したがって、 hが円錐台の高さ、 R が大きい方の基礎円の半径、 r が小さい方の基礎円の半径である場合、円錐台の体積は次の式で与えられます。
\(V_T=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr\ +r^2)\)
円錐台の体積を計算するにはどうすればよいですか?
次の例に示すように、2 つの円の半径と高さを測定することで、円錐台の体積を計算できます。
- 例 1:高さが 10 cm 、最大底面の半径が 6 cm 、最小底面の半径が 5 cm の円錐台の体積を計算します。 (π=3を使用)
与えられた情報と円錐台の体積の公式を使用して、次のように計算します。
\(V_T=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr\ +r^2)\)
\(V_T=\frac{1}{3}\cdot3\cdot10\cdot(6^2+6\cdot5\ +5^2)\)
\(V_T=10\cdot(36+30\ +25)\)
\(V_T=10\cdot\left(91\right)=910\ cm^3\)