基本的な数学演算は、加算、減算、乗算、除算です。これらに加えて、増強、発根、および高等教育でのみさらに研究されるその他のものもあります。これらの演算には、この記事で説明する基本的なプロパティがあり、2 つのグループに分けられます。1 つは加算と減算です。 2 番目は、掛け算と割り算です。これは、これらの操作が逆であるとみなされるために発生します。
足し算と引き算
加算は、同じ性質を持つが 2 つの異なるグループにあるオブジェクトをまとめる数学的演算です。例: ジョアンは 12 色の色鉛筆が入った箱を持っていました。彼が家に帰ると、両親から他の12本と一緒に新しい箱を受け取りました。現在、彼は24本の色鉛筆を持っています。この例では、鉛筆が一緒に追加されました。
減算は、グループから同じ性質の要素を取り除く数学的演算です。たとえば、ジョンが鉛筆を 4 本友人にあげることにした場合、手元に残るのは 20 本だけです。
負の数を含む整数のセットに対して加算が定義されている場合、減算は加法逆数の加算とみなされます。実際、これは加算の特性の 1 つであり、以下で説明します。
追加プロパティ
1 – 2 つの数値を加算する順序によって、合計の結果は変わりません。数学的に:
a + b = b + a
この性質は可換性と呼ばれます。
2 – 3 つの数値の合計: a + b + c では、a + b の後に c を加算すると、b + c の後に a を加算した場合と同じ結果になります。数学的に:
(a + b) + c = a + (b + c)
このプロパティは結合性と呼ばれます。
3 –中立要素(この場合はゼロ) と呼ばれる、合計の結果に影響を与えない数値があります。このような：
a + 0 = 0 + a = a
4 – すべての数値 x に対して、それらの合計が 0 に等しい数値 – x が存在します。
x + (- x) = 0
この最後の性質により、減算を加算逆元の加算として理解できるようになります。これにより、ある意味、減算演算を加算演算に含めることができ、それらを 1 つにすることができます。ただし、生徒の理解を深めるために、この詳細については教室ではほとんど言及されません。
したがって、77 – 42 の減算は次の加算と見なすことができます。
77+(-42)
したがって、実数を加算するために次のような符号規則が作成されました。
a) 数値の符号が正の場合、合計の結果は正になります。
b) 数値の符号が負の場合、合計の結果は負になります。
c) 数値の符号が異なる場合は、それらを削減し、係数に関係なく、係数が最大のもの、つまりより大きいものの符号を結果に保持しなければなりません。
これらのルールは、教室では次のように置き換えられることがよくあります。
等号、合計、保存。
異なる符号を引き算し、大きい方の符号を保持します。
掛け算と割り算
同様のことが乗算と除算でも起こります。ただし、この事実を明らかにする前に、これらの操作を理解し、その特性を知る必要があります。
乗算は、各部分が等しい数である一連の和として理解されます。 8 回の分割払いを含む合計額を確認します。
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
乗算では、合計表記が次のように置き換えられます。
8・4
8 は分割数、4 は追加される数です。
数値 4 の 8 つの部分の合計が 32 に等しいため、上記の乗算の結果が 32 であることに注目すると、除算を逆演算として定義できます。つまり、32 個のオブジェクトを 8 つの部分に均等に分割します。各パートには、これら 32 個の要素のうち 4 つが含まれます。
乗算と除算も逆演算です。加算と減算と同様に、除算も逆数の乗算として理解できるのではないかと疑問に思います。答えは「はい」で、これは乗算の特性の 1 つに依存します。
乗算の性質
1 – 係数を乗算する順序によって積の結果は変わりません (乗算と同義)。数学的に:
a・b = b・a
この性質は可換性と呼ばれます。
2 – 3 つの数値を含む乗算では、最初の 2 つを乗算してから最後の 2 つを乗算すると、最後の 2 つを乗算してから最初の 1 つを乗算するのと同じ結果になります。ご注意ください：
(a・b)・c = a・(b・c)
このプロパティは結合性と呼ばれます。
3 –中立要素と呼ばれる、乗算の結果に影響を与えない要素 (この場合は数字 1) があります。数学的に:
a・1 = 1・a = a
4 – すべての数値には逆元があり、数値にその逆数を乗算すると中立元が得られます。このような：
a・(1/a) = 1
乗算の逆元は分数で表され、数値と逆数の乗算となる除算の優先順位を与えます。たとえば、除算 16:4 は次の乗算と同じです。
16 1/4
この乗算の結果は 4 です。
掛け算にも符号規則があります。それらは次のとおりです。
「掛け算では、同じ符号は正の数になり、異なる符号は負の数になります。」
分配財産
掛け算と足し算を同時に行う性質もあります。したがって、上で説明したように、割り算と引き算も同様に含まれます。
実数 a、b、c が与えられると、次の値になります。
a・(b + c) = a・b + a・c