数値の 10 進表現が非周期 10 進数、つまり無限の非周期 10 進数である場合、数値は無理数として分類されます。これらの数値が無理数として知られる理由は、それらの数値が分数表現を持たないという事実です。
非周期小数は、無理数として知られています。これは、たとえば、不正確な根から求められます。また、π (読み取り: パイ) などの特殊な場合もあります。
無理数とは何ですか?
無理数の発見は幾何学の研究中に行われました。辺が 1 の三角形の斜辺の長さを見つけようとして、ピタゴラスの定理を適用すると、結果は無理数でした。
h² = 1² + 1²
h² = 1 + 1
h = √2
√2 という数値を見つけたとき、数学者は、この数値は分数として書くことができないため、有理数として分類できないことに気づきました。そこで、新しいセット、つまり無理数のセットを作成して研究する必要性が生じました。
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数値が無理数であるためには、その表現が非反復小数でなければなりません。無理数は分数で表すことができません。 |
それぞれを掛け合わせると 2 になる数値を見つけようとすると、非反復小数に到達します。
√2 = 1.41421356…
不正確な根はすべて無理数です。
例:
√3 = 1.7320508…
√5 = 2.2360679…
√7 = 2.6457513…
√8 = 2.8284271…
√10 = 3.1622776…
不正確な根に加えて、非反復小数はすべて無理数です。
例:
4.123493…
0.01230933…
2.15141617…
非反復小数には特殊なケースがいくつかあります。たとえば、円周に関する問題で見られる数値πや、自然界の比率に関する問題で非常に一般的な数値ɸ (読み: fi) などです。
π = 3.14159265…
ɸ = 1.61803399…
無理数のセット
非周期小数の発見と、これらの数値は分数として書くことができないという認識により、新しい集合である無理数の集合が出現しました。これは、 10 進表現が非周期小数であるすべての数値によって形成されます。
無理数の集合を表すには、文字 I を使用するのが一般的です。無限の周期小数があるため、この集合も無限になります。無理数と有理数の結合から、一連の実数が出現しました。
無理数と有理数
実数は、有理数の集合と無理数の集合の 2 つの集合に分けることができます。同様に有理数である自然数や整数とは異なり、無理数の集合には有理数の集合と共通の要素がありません。つまり、数値が有理数か無理数かのどちらかですが、両方とも存在することはありません。同じ時間です。
有理数のセットは、分数として表現できるすべての数値で構成されます。無理数のセットは、分数として表すことができない数値で構成されます。
有理数のセットの要素は次のとおりです。
- 整数:
{ … – 3、 – 2、 – 1、 0、 1、 2、 3 … }
- 正確な 10 進数:
a) 1.5
b) 4.321
c) 9.83
- 周期小数:
a) 5.011111…
b) 8.14141414…
c) 0.33333…
つまり、分数として表現できるすべての数値は有理数のセットの一部です。
無理数を使った演算
無理数の足し算と引き算
無理数を加算または減算する場合、最も一般的なのは、これらの数値の有理近似を使用して演算を実行できるようにすることです。多くの場合、たとえば 2 つの有理数の合計を実行する場合、指定された演算はそのままにしておきますが、計算自体は実行しません。
例:
√2 +√3
√2 – √3
0.0123543… + 4.151492304…
掛け算と割り算
数値が不正確な根である場合の乗算または除算は可能な演算ですが、結果が必ずしも無理数になるとは限りません。
例:
√50 : √2 =√25 = 5 → 5 は有理数であることがわかります。
√5 · √3 = √15 → この場合、√15 は正確な根を持たないため、無理数になります。