正多角形は、すべての合同な辺、つまり同じ寸法の辺を持つものです。例としては、正三角形や正方形などがあります。同じ寸法の辺があるため、内角を比較すると、それらは互いに合同になります。
正多角形についてのまとめ
- 正多角形とは、辺が合同、つまり同じ大きさの多角形です。
- 正多角形も互いに合同な内角を持ちます。
- 正多角形の外角は合同であり、360°を辺の数で割ると計算できます。
- 各内角の値は、内角の合計と辺の数を除算したものです。
- 正多角形の周囲長は、辺の長さと辺の数を掛けたものです。
- 不規則な多角形は、すべての辺が合同ではない多角形です。
正多角形とは何ですか?
正多角形は、同じ寸法の辺と同じ寸法の角度、つまり互いに合同な辺と互いに合同な角度を持つ多角形です。主な例として正三角形と正方形があります。しかし、正五角形や正六角形もあります。
正多角形の周囲の長さを計算するにはどうすればよいですか?
正多角形の周囲長は、その多角形の辺の長さに辺の数を掛けることで計算できます。その後、次の式を使用して周囲長を計算できます。
\(P=n⋅l\)
l : 多角形の辺の寸法。
n : 多角形の辺の数。
- 例:正六角形の一辺は 9 cm ですが、この六角形の周囲の長さはいくらですか?
解決：
六角形は 6 つの辺を持つ多角形であることがわかります。
n = 6 およびl = 9 なので、次のようになります。
\(P = n⋅ l = 6⋅9=54cm\)
正多角形の性質
→ 正多角形の角度
正多角形の内角と外角を2つの場合に分けて、内角から勉強していきます。内角の和の公式は次のように与えられることがわかっています。
\(S_i=180⋅(n-2)\)
S i : 内角の和。
n : 辺の数。
多角形の各内角の寸法を求めるには、単純に内角の合計を辺の数で割ります。したがって、次の式が得られます。
\(a_i = \frac{180\ \cdot \ {(n-2)}}{n}\)
a i : 内角の単位。
- 例:正 12 角形の各角度の尺度はいくらですか?
解決：
n = 12 を置き換えると、次のようになります。
\(a_i = \frac{180\ \cdot \ {(12-2)}}{12}\)
\(a_i = \frac{180\ \cdot \ {(10)}}{12}\)
\(a_i = \frac{1800}{12}\)
\(a_i = 150°\)
さて、外角に関しては、すべての多角形 (正多角形かどうかに関係なく) について、外角の合計は 360° に等しくなります。次に、多角形は正則であるため、各角度の値は次のように求められます。
\(a_e = \frac{360}{n}\)
a e : 外角。
n : 辺の数。
- 例:六角形の外角の測定値はいくらですか?
解決：
\(a_e = \frac{360}{6}\)
a e =60°
→正多角形のアポセム
正多角形の頂点は外接円の半径の測定値であるため、頂点は多角形の中心からその辺の 1 つに垂直に伸びます。
上の画像では、 aで表される多角形の頂点が外接円の半径に等しいことに注意してください。
→正多角形の面積
多角形の既存の公式 (たとえば、三角形の面積は底辺と高さの積で計算されます) は正多角形にも適用されます。具体的には、正多角形の場合、頂点と多角形の半周長との積である公式を使用して面積を計算します。半周長は、多角形の周長の半分の値にすぎません。
\(A=a⋅p\)
a ：アポセム
p : 半周長(周長の半分)
- 例:八角形の辺の長さは 5 cm、辺の長さは 3.75 cm です。あなたの地域は何ですか?
解決：
私たちは次のことを知っています:
\(A=a⋅p\)
周囲長を計算すると、次のようになります。
\(P = 8 ⋅ 5 = 40\)
P = 40
したがって、 p = 20 となります。
したがって、面積を計算するには、次のことを行う必要があります。
\(A = a ⋅ p\)
\(A = 3.75 ⋅ 20\)
高さ = 75cm 2
正多角形と不規則な多角形
これまで見てきたように、正多角形は、すべての辺が一致し、内角が一致する多角形です。多角形が不規則であるには、これらの条件のいずれかを満たさなければ十分です。つまり、正辺でないか、等角ではありません。