有理数とは、分子と分母が整数である分数として表現できる数です。分数、循環小数、および小数点以下の桁数が有限である数値は、有理数の例です。これらは、砂糖の半分のカップ、ピザの3 分の 1 、チョコレートの5 分の 2など、全体の一部を示すために使用されます。
有理数についてのまとめ
- 分子と分母が整数である分数として記述できる数を有理数といいます。
- 有理数を使用した演算は、いくつかの特定の基準に従います。
- 周期小数 (周期小数点以下の桁数が無限にある数) は、有理数の例です。
- 有理数の集合は文字Qで表されます。
- 自然数の集合 ( N ) と整数の集合 ( Z ) はQの部分集合です。
- 分子と分母を整数にした分数で表現できない数を無理数といいます。
有理数に関するビデオレッスン
有理数とは何ですか?
有理数は、 \(\frac{{a}}{{b}},\)の形式で記述できる数値です。ここで、 aとb は整数であり、 b ≠ 0です。小数点以下の桁数が有限である場合と、小数点以下の桁数が無限で周期的な数であるすべての数値は有理数です。例を参照してください。
\(2=\frac{2}{1}\)なので、2 は有理数です。
\(0.25=\frac{1}{4}\)であるため、0.25 は有理数です。
\(0.3333… = \frac{1}{3}\)なので、0.3333… は有理数です。
\(-6=\frac{-6}{1}\)なので、-6 は有理数です。
\(\frac{1}{10}\) は有理数です
有理数を使った演算
分数表現で有理数を使用して 4 つの基本的な数学演算 (加算、減算、乗算、除算) を実行する方法を見てみましょう。これを行うには、有理数\(\frac{a}{b} と \frac{c}{d}, \)の間の演算を考慮します。ここで、 \( b\neq0\)と\(d\neq0\ ） 。
→ 有理数同士の加算
\(\frac{a}{b}\ +\ \frac{c}{d}\ =\ \frac{ad\ +\ cb}{bd}\)
例を参照してください。
\(\frac{3}{5}+\frac{2}{9}=\frac{3.9\ +\ 2.5}{5.9}=\frac{27+10}{45}=\frac{37}{ 45}\)
→ 有理数間の 引き算
\(\frac{a}{b}\ -\ \frac{c}{d}\ =\ \frac{ad\ -\ cb}{bd}\)
例を参照してください。
\(\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4.2\ -\ 1.3}{3.2}=\frac{8-3}{6}=\frac{5}{ 6}\)
→ 有理数間の乗算
\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\ =\ \frac{a\ \cdot\ c}{b\ \cdot\ d}\)
例を参照してください。
\(\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{4}=\frac{8\ \cdot\ 7}{10\ \cdot\ 4}=\frac{56}{40}\)
→ 有理数間の割り算
\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b \cdot c}\)
例を参照してください。
\(\frac{4}{9}\div\frac{1}{3}=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{1}=\frac{4\cdot3}{9\ cdot1}=\frac{12}{9}\)
有理数と循環小数
周期小数とは、小数部分が無限で周期的な数値です。すべての繰り返し小数は、分子と分母が整数である分数として書くことができます。したがって、循環小数は有理数です。例を参照してください。
- \(1.3333\ldots=\frac{4}{3}\)であるため、周期 10 進数 1.3333… は有理数です。
- \(2.4444\ldots=\frac{22}{9}\)であるため、周期 10 進数 2.4444… は有理数です。
有理数のセット
有理数の集合は文字Qで表されます。正式には次のように説明されます。
\(Q=\ \left\{\ \frac{a}{b},a\in Z,b\in Z^\ast\right\}\)
有理数の部分集合
有理数の主なサブセットは次のとおりです。
- N :自然数の集合。
- Z :整数のセット。
- Q *:ゼロ以外の有理数のセット。
- Q + :正の有理数のセット。
- Q – :負の有理数の集合。
特に、集合N 、 Z 、 Qの間の包含関係を見てみましょう。次のことを覚えておいてください。
\(N=\{\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\ldots\}\)
\(Z=\{\ldots\ -3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\ldots\}\)
\(Q=\ \left\{\ \frac{a}{b},a\in Z,b\in Z^\ast\right\}\)
したがって、 \(N\subset Z\subset Q\)となります。
有理数と無理数の違い
- 有理数:分子と分母が整数である分数で表現できます。例:
\(0.2=\ \frac{1}{5}\)
\(1.875=\ \frac{15}{8}\)
\(2.3333\ldots=\ \frac{7}{3}\)
- 無理数: 無理数は有理数の正反対です。つまり、整数の分子と分母を持つ分数として書くことはできません。無理数は小数部分を分析することで認識できます。すべての無理数には、非周期的な小数点以下の桁数が無限にあります。例:
\(\sqrt2=1.41421356237\ldots\)
\(\sqrt3=1.73205080756\ldots\)
\(\pi=3.14159235358\ldots\)