四次方程式は、特定の一般形式を持つ 4 次の多項方程式です。彼らの研究は、変数を変更することで二次方程式に変換することができ、その二次方程式には多くの解決方法があるため、重要です。最後に、この変数の変更を元に戻して、四次方程式の実根を求めます。
四次方程式についてのまとめ
- 四次方程式は 4 次方程式の一種です。
- それらには次の一般式があります。
\(ax^4+bx^2+c=0\)
- 変数を変えることで二次方程式に変形することが可能です。
- 二次方程式を解いて変更を元に戻した後、四次方程式の根を見つけます。
四次方程式のビデオ レッスン
四二次方程式とは何ですか?
双二次方程式は、4次の多項方程式の一種です。それらは一般に次のように表されます。
\(ax^4+bx^2+c=0\)
それらにおいて、 a 、 b 、 cは実数であり、係数a ≠ 0は必須です。このクラスの方程式は、変数\(y=x^2\)を変更して二次方程式に変換し、根を求めるプロセスを容易にすることができるため、重要です。
四次方程式と四次方程式の違い
四二次方程式は 4 次の多項式ですが、すべての 4 次方程式が四二次方程式であるわけではありません。この方法で 4 次方程式を分類するには、その項x 3とxの係数が null である必要があります。したがって、変数\(y=x^2, \)を交換して次のように変換する方法があります。二次方程式。
- 例：
方程式\(x^4+7x^3+x^2+1=0\) が4 次であるかどうかを確認します。
解決：
項x 3に付随する係数はゼロではないことに注意してください (この場合、係数は 7)。したがって、この方程式は 4 次の方程式ですが、2 平方方程式ではありません。
四次方程式を解くにはどうすればよいですか?
四次方程式を解くことは、その方程式の根が何か、つまり、次の等式を満たすxの値が何かを決定することです。
\(ax^4+bx^2+c=0\)
ただし、変数\(y=x^2\)を変更することで、双二次方程式を二次多項式として書き直すことができます。つまり、次のようになります。
\(ax^4+bx^2+c=0\rightarrow a\)
\(\rightarrow ay^2+by+c=0\)
この変換に基づいて、 2 次方程式の根を決定することができます: \(ay^2+by+c=0\) 。次に、単に変数の変更を元に戻して、元の 4 次方程式の根を見つけます。
- 例 1:
方程式\(x^4-5x^2+4=0\)の根を求めます。
解決：
まず、これが 4 次方程式であることを理解してください。変数\(y=x^2\)を変更すると、次の 2 次方程式に変換できるからです。
\(y^2-5y+4=0\)
この二次方程式を解くと、その根が\(y_1=1\)と\(y_2=4\)であることがわかります。
変数の変更を元に戻すことで、元の 2 平方方程式の根が何であるかを発見することができます。このような：
\(y=x^2\rightarrow x=\pm\sqrt y\)
したがって、四次方程式の根は次のように求められます。
\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm1 \)
\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm2 \)
したがって、四次方程式の根は\(x_1=1,x_2=-1,x_3=2\)と\(x_4=-2\)になります。
- 例 2:
方程式\(x^4-18x^2+81=0\)の根を求めます。
解決：
繰り返しになりますが、最初のステップは、これが 4 次方程式であることを認識することです。変数 y = x 2を変更すると、次の 2 次方程式に変換できるためです。
\(y^2-18y+81=0\)
二次方程式を解く方法を使用すると、この方程式の根は\(y_1=y_2=9\) 、つまり 2 つの実数の等しい根があることがわかります。
変数の変更を元に戻すと、四次方程式の根が次の式で与えられることがわかります。
\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm3 \)
\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm3 \)
したがって、四次方程式の根は\(x_1=x_3=3\)と\(x_2=x_4=-3\)になります。