多項式は数学に関連する問題で非常に一般的です。特定の状況で未知の値を見つけようとするのは、方程式を通じてです。多項式を含む方程式はすべて多項式として知られています。
多項式の方程式の可能な解を見つけるには、その多項式の次数を知る必要があります。多項式の次数がわかれば、それぞれの場合に解を見つけるための特定の方法がありますが、私たちの主な関心は 1 次および 2 次の多項式方程式を解くことです。
この多項式の次数に応じて、代数学の基本定理を通じて、その方程式の複素解がいくつあるかを知ることができます。多項式の次数が高くなるほど、方程式を解くのが難しくなります。
多項式とは何ですか?
多項式として、P(x) = 0という方程式が知られています。ここで、P(x) は任意の多項式です: P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 。したがって、一般に、多項式は次のように表すことができます。
a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 = 0
例:
2x² + 5x – 2 = 0
-x3 + 2×2 – 8x + 2 = 0
4y3 + 2y – 2 = 0
多項式を解く方法
多項式を含む問題では、解決方法は多項式の次数によって異なります。高校で学習する内容に関連した問題や、受験やの問題では、 1次多項式と2次多項式という2つの場合の方程式が出題されます。
1次多項式
ax + b = 0 で記述できる 1 次の多項式として定義します。ここで、a と b は実数です。この名前は、多項式の次数が 1 であるため、この場合は x の最大の指数であるためです。二次方程式を解くには、4 つの基本演算を使用して、満たされる値を求めます。
例 1 :
方程式 4x – 8 = 0 を解きます。
この方程式の解を見つけるために、基本的な操作を使用して未知の x を分離します。平等である以上、一方で行われたことは他方でも行われなければなりません。
方程式の 1 番目の要素として等号の左側にあるもの (この場合は 4x – 8) がわかり、方程式の 2 番目の要素として等号の右側にあるもの (この場合は 0) がわかります。
第 1 ステップ: -8 + 8 = 0 であることがわかっているので、両側に 8 を加えましょう。また、8 が 2 番目のメンバーに渡されて、逆演算が実行されると言うことも非常に一般的です。これは、次の考えを簡略化したものです。両辺に8を足します。
4x – 8 + 8 = 0 + 8
4x = 8
2 番目のステップ: 4x の値がわかっているので、両側を 4 で割って x の値を求めることに注意してください。両辺を4で割るのは「4を割って渡す」のと同じです。
値 x = 2 を見つけることは、2 が方程式を真にする値であることを意味します。 x = 2 の値を代入すると、真の等価性がわかります。
4x – 8 = 0
x = 2
4・2 – 8 = 0
8 – 8 = 0
0 = 0
これは、2 が方程式の解であることを示しています。
2次多項式
二次方程式としても知られる 2 次多項方程式の解を求めるには、2 次方程式を解くために最もよく使用されるバスカラの公式として知られる方法を使用します。
2 次多項方程式は、 ax² + bx + c = 0というタイプです。この方程式を成り立たせる値を見つけるには、デルタ (Δ) を計算し、Bhaskara の公式で x 1と x 2を求める必要があります。
例 2 :
方程式 x² – 4x + 3 = 0 の一連の解を求めます。
方程式の解を見つけるには、まず係数 a、b、c を特定します。
a → は常に x² という項を伴います。この場合は a = 1 です。
b → は常に項 x を伴います。この場合、b= -4 です。
c → は常に独立項です。つまり、未知の項を伴いません。この場合は c = 3 です。
したがって、デルタを計算するには、次のことを行う必要があります。
a = 1
b = -4
c = 3
Δ = b² – 4・a・c
Δ = (-4)² – 4 · 1 · 3
Δ = 16 – 12
Δ = 4
Δ の値がわかったら、Bhaskara の公式を使用して方程式を満たす x の値を見つけてみましょう。
方程式の解は 3 と 1 です。変数 x の代わりにこれらの値のいずれかを代入すると、方程式が真になります。このタイプの多項方程式の詳細については、「二次方程式」を参照してください。
代数学の基本定理
代数学で最も重要な定理の 1 つである代数の基本定理 (TFA) は次のように述べています: 単一の変数と次数nを持つ多項式が与えられると、複素根の数、つまり P(x) を作る値0 に等しい場合は、 nにも等しくなります。
これは、1 次の多項方程式を分析し、その解が 1 つであることがわかっている場合に気づく可能性がありますが、2 次の方程式を扱う場合は、解が 2 つあることなどがわかります。
ファクタリング
多項式の解がわかれば、P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1のように、多項式を因数分解形式で書き直すことができます。 + a 0 。複素根は x 1 、 x 2 、 x 3 、 x 4 … x nに等しい。次に、多項式を因数分解された形式で次のように書き直すことができます。
P(x) = a n (x – x 1 ) (x – x 2 ) (x – x 3 ) …。 (x – x n-1 ) (x – x n )
例：
多項式 P(x) = x² – 4x + 3 の因数分解された形式を書きます。
例 2 でこの方程式を解くと、根 x 1 = 1 および x 2 = 3 がわかり、a = 1 も得られるため、因数分解すると次のようになります。
P(x) = 1(x – 1) (x – 3)
場合によっては、同じ根が因数分解で複数回現れる可能性があるため、根が因数分解でn回現れるとき、その根は多重度nを持つと言います。
例：
x³ の係数が 3 であることがわかっているので、根が x 1 = 5、x 2 = 5、および x 3 = -2 となるような 3 次の多項式を求めます。
まず多項式を因数分解した形式で書きましょう。 5 は多重度 2 の多項式の根であるため、次のように表されることに注意してください。
P(x) = 3 (x – 5) (x – 5) (x – (-2))
P(x) = 3 (x – 5)² (x + 2)
次に、これらの多項式の乗算を計算してみましょう。
P(x) = 3 (x² – 10x + 25) (x + 2)
P(x) = 3 (x³ – 10x² + 25x + 2x² – 20x + 50)
多項式を単純化すると、次のようになります。
P(x) = 3 (x3 – 8x² + 5x + 50)
P(x) = 3×3 – 24×2 + 15x + 150
