多角形にくぼみがない場合、つまり、どの頂点もその図形の内部を向いていない場合、多角形は凸状であると見なされます。たとえば、次の画像では、多角形ABCDE にはくぼみがありません。これとは異なり、FGHIJ ポリゴンには頂点 H に凹みがあります。
多角形ABCDEを凸、多角形FGHIJを非凸といいます。
正式な定義
凸多角形を認識するために使用できますが、上記の定義はジオメトリでは正式に使用されていません。したがって、凸多角形の定義は次のようになります。
任意の 2 つの点 A および B を含む多角形c 内に、線分 AB の点の少なくとも 1 つが多角形 c の内部に属さない位置がない場合、この多角形は凸状です。
言い換えれば、端点が凸多角形の内部点であるセグメントは、その多角形にも完全に埋め込まれる必要があります。
下の図は、左側に凸多角形内のセグメント AB の例を示しています。右側では、セグメント AB の一部を多角形の内側にしない位置を選択することができます。この場合、これは凸多角形ではありません。
凸多角形の要素
凸多角形の要素は次のとおりです。
1 –側面: これらは、ポリゴンを制限する直線セグメントです。次の例では、線分 AB が辺となります。
2 –頂点: これらは 2 つの側面間の接点です。これらは、次の図では大文字で表されています。
3 –対角線: これらは、次の図のセグメント AD など、凸多角形の連続しない 2 つの頂点を接続する直線セグメントです。
4 –内角:多角形の内側に面する 2 つの連続する辺の間の各角度は内角です。例として、次の図に EDC 角度があります。
5 –外角: 多角形の外側にある辺とそれに続く辺の延長線との間の各角度は外角です。次の図にある CDK角度は、外角の例です。
凸多角形の性質
1 番目 –凸多角形では、辺の数は常に内角と頂点の数に等しくなります。
2 番目 – 次の公式を使用して、凸多角形の 内角の合計を求めることができます。
S = (n – 2)180
ここで、S は多角形の内角の合計、n は多角形の辺の数です。
3 番目 – すべての多角形 の外角の合計は360° になります。
4番目 – 凸多角形が持つ対角線の数は次の式で求められます。
d = n(n – 3)
2
ここで、d は多角形の対角線の数、n は多角形の辺の数です。
例:凸六角形が与えられた場合、次を計算します。
a) 内角の合計。
S = (n – 2)180
S = (6 – 2)180
S=(4)180
S = 720°
b) この六角形の対角線の数。
d = n(n – 3)
2
d = 6(6 – 3)
2
d = 6(3)
2
d = 18
2
d = 9 対角線。
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