和積は2次の多項式を解く方法です。 方程式の係数をそれらの根の和と積に関連付ける次数。このメソッドの適用は、式間の一定の等式を満たすルートの値を決定することから構成されます。
これは Bhaskara 公式の代替ではありますが、この方法は常に使用できるわけではなく、場合によっては、ルートの値を見つけるのは時間のかかる複雑な作業となり、解決するには従来の公式に頼らなければならない場合があります。 2次の方程式。
合計と積の概要
和と積は、2 次方程式を解くための代替方法です。
和の式は\(-\frac{a}b\) 、積の式は\(\frac{c}a\)です。
この方法は、方程式に実根がある場合にのみ使用できます。
和と積の公式
二次多項式は次のように表されます。
\(ax^2+bx+c=0\)
ここで、係数\(a≠0\) 。
この方程式を解くことは、等式を成り立たせる根\(x_1\)と\(x_2\)を見つけることと同じです。したがって、 Bhaskaraの公式を使用すると、これらの根は次のように表現できることがわかります。
\(x_1=\frac{-b + \sqrtΔ}{2a}\)および\(x_2=\frac{-b – \sqrtΔ}{2a}\)
ここで\(Δ=b^2-4ac\) 。
したがって、和と積の関係は次のように求められます。
和の計算式
\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrtΔ}{2a}+\frac{-b-\sqrtΔ}{2a}\)
\(x_1+x_2=-\frac{b}a\)
製品公式
\(x_1 ⋅ x_2=\frac{-b+\sqrt∆}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt∆}{2a}\)
\(x_1⋅x_2=\frac{c}a\)
和と積を使った根の計算
この方法を適用する前に、それが実際に使用可能で実行可能であるかどうかを知ることが重要です。つまり、解く方程式に実根があるかどうかを知る必要があります。方程式に実根がない場合は使用できません。
この情報を発見するには、方程式の判別式を計算します。これにより、2 次方程式の実数解がいくつあるかが決まります。
Δ > 0 の場合、方程式には 2 つの異なる実根があります。
Δ = 0 の場合、方程式には 2 つの等しい実根があります。
Δ < 0 の場合、方程式には実根がありません。
以下に、和と積の方法を適用する方法の例をいくつか見てみましょう。
例 1:可能であれば、和積法を使用して、方程式\(-3x^2+4x-2=0\)の根を計算します。
まず、この方程式に真の根があるかどうかを分析することをお勧めします。
その判別式を計算すると、次のようになります。
\(b^2 -4ac=(4)^2-4⋅(-3)⋅(-2)\)
\(= 16-24=-9\)
したがって、方程式の根は複雑であり、この方法を使用してその値を見つけることはできません。
例 2:和積法を使用して、方程式\(x^2+3x-4=0\)の根を求めます。
方程式の根が実数かどうかを確認するには、その判別式が再度計算されます。
\(b^2 -4ac =(3)^2-4⋅(1)⋅(-4)\)
\(=9+16=25\)
したがって、判別式でゼロより大きい値が得られたため、この方程式には 2 つの異なる実根があると言え、和積法を使用できます。
推定された式から、ルート\(x_1 \)と\(x_2\)は次の関係を満たすことがわかります。
\(x_1+x_2=-\frac{3}1=-3\)
\(x_1⋅x_2=\frac{-4}1=-4\)
したがって、2 つの根の合計は\(-3 \)となり、その積は\(-4 \)になります。
根の積を分析すると、一方が負の数で、もう一方が正の数であることが明らかです。結局のところ、それらの乗算の結果は負の数になります。次に、いくつかの可能性をテストできます。
\(1⋅(-4)=-4\)
\(2⋅(-2)=-4\)
\((-1)⋅4=-4\)
結局のところ、提起された可能性のうち、最初の結果が取得したい合計となることに注意してください。
\(1+(-4)=-3\) 。
したがって、この方程式の根は\(x_1=1\)と\(x_2=-4\)になります。
例 3:和積法を使用して、方程式\(-x^2+4x-4=0\)の根を求めます。
判別式の計算:
\(b^2 -4ac=(4)^2-4⋅(-1)⋅(-4)\)
\(=16-16=0\)
この方程式には 2 つの等しい実根があると結論付けられます。
したがって、和と積の関係を使用すると、次のようになります。
\(x_1+x_2=-\frac{4}{(-1)}=4\)
\(x_1⋅x_2=\frac{-4}{-1}=4\)
したがって、 \(2+2=4\)および\(2⋅2=4\)であるため、上記の条件を満たす実数は 2 となり、 \(x_1=x_2=2\) が方程式の根になります。 。
例 4:方程式\(6x^2+13x+6=0\)の根を求めます。
判別式の計算:
\(b^2-4ac=(13)^2 -4⋅(6)⋅(6)\)
\(=169-144=25\)
この方程式には 2 つの異なる実根があると結論付けられます。
したがって、和と積の関係を使用すると、次のようになります。
\(x_1+x_2=-\frac{13}6\)
\(x_1⋅x_2=\frac{6}6=1\)
合計の式により分数の結果が生じることに注意してください。したがって、この方法を使用してルートの値を見つけることは、たとえ可能であっても、時間と労力がかかる可能性があります。
このような場合、Bhaskara 公式を使用する方がより良い戦略であるため、Bhaskara 公式を使用すると、方程式の根を見つけることができます。この場合、式は次のようになります。
\(x_1=\frac{-b+ \sqrtΔ}{2a}=\frac{-13+ \sqrt{25}}{12}=-\frac{2}3\)
\(x_2=\frac{-b- \sqrtΔ}{2a}=\frac{-13- \sqrt{25}}{12}=-\frac{3}2\)
和と積に関する演習を解決しました
質問1
\(ax^2+bx+c=0\)タイプの 2 次多項式を考えてみましょう。 (with \(a=-1\) ) 、根の合計は 6 に等しく、根の積は 3 に等しくなります。次の方程式のうち、これらの条件を満たすものはどれですか?
) \(-x^2-12x-6=0\)
b) \(-x^2-12x+6=0\)
c) \(-x^2+6x-3=0\)
d) \(-x^2-6x+3=0\)
解像度: 文字 C
このステートメントは、方程式の根の合計が 6 に等しく、その積が 3 に等しいことを示します。つまり、次のようになります。
\(x_1+x_2=-\frac{b}a=6\)
\(x_1⋅x_2=\frac{c}a=3\)
これを知っていると、係数bとc を係数aの関数として分離できます。つまり、次のようになります。
\(b=-6a\ ;\ c=3a\)
最後に、係数\(a=-1\)として、 \(b=6\)と\(c=-3\)が結論付けられます。
質問2
方程式\(x^2+18x-36=0\) を考えてみましょう。この方程式の根の合計をSで表し、その積をPで表すと、次のように言えます。
a) \(2P=S\)
b) \(-2P=S\)
c) \(P=2S\)
d) \(P=-2S\)
解像度: 文字 C
和と積の公式から、次のことがわかります。
\(S=-\frac{b}a=-18\)
\(P=\frac{c}a=-36\)
したがって、 \(-36=2\cdot (-18)\)なので、 \(P=2S\)ということになります。
出典:
レジー、ゲルソン。初等数学の基礎、6: 複素数、多項式、方程式。 8.編サンパウロ: 2013 年現在。
サンパイオ、ファウスト・アルノー。数学トレイル、9 年生: 小学校、最終学年。第1版サンパウロ：サライバ、2018年。