カバリエリの原理は、幾何学的立体の体積の計算を容易にするために開発されました。立体の中には体積の計算が難しい形状のものがあります。この作業を容易にするために、Cavalieri は既知の固体間の体積を比較することにしました。
この学者によって開発された原理は、同じ高さの 2 つの幾何学的立体がある場合、それらを底面に平行な平面で切断するとき、立体の任意の高さで、2 つの立体との交差の面積がが常に同じであれば、これらの固体は等しい体積になります。
カバリエリの原理の定義
イタリアの数学者ボナベントゥラ フランチェスコ カヴァリエリは、幾何学的立体の体積を計算する研究を実施しました。彼は研究中に、現在ではカヴァリエリの原理として知られる分割不可能な方法を発表しました。
カヴァリエリの原理は、幾何立体を比較することにより、幾何立体のどの高さにおいても、底面に平行な平坦部分によって形成される平坦な図形の面積が常に同じであれば、同じ高さを持つ 2 つの幾何立体は同じ体積をもつことになります。 。
画像のプリズムを分析すると、固体が平面 ▯ と接触したときに形成される図形が、異なる形状の多角形であることがわかります。同じ面積と同じ高さがある場合、カバリエリの原理によれば、これらの固体の体積は同じになります。
カヴァリエリの研究に基づいて、プリズムの体積を計算する公式を開発することができました。この図は任意の多角形の底面を持つことができるため、プリズムの体積を計算するには、次の式を使用します。
V = A b × h
V→ボリューム
A b → ベースエリア
h→身長
面積は、ベースの形状、つまりベースを形成するポリゴンに従って計算されます。
カバリエリの原理によるシリンダー容積
角柱と円柱を比較すると、円柱の体積も角柱の体積と同様の方法、つまり底辺と高さの積によって計算できることがわかりました。
キャプション: 角柱と円柱を比較したカヴァリエリの原理。
円柱が与えられた場合、その角柱の底面の面積が円柱の面積と一致する限り、円柱と同じ体積の角柱を見つけることができます。これにより、次のことが実現できました。円柱の体積も底面と高さの積になります。
V = A b × h
円柱の底面は常に円に等しく、円の面積は πr² で計算されることがわかります。したがって、円柱の場合、体積は次の式で計算されます。
V = πr² × h
球体積
球の体積値を計算する公式は、カバリエリの原理を使用して見つけることができます。この原理を適用できる固体の探索で、anticlepsydra として知られる図形が見つかりました。
クレプシドラが 2 つの円錐によって形成されており、その高さは底面の半径に等しいことがわかります。 2 つの円錐体を含む円柱を配置すると、円柱の体積と 2 つの円錐体の体積の間の減算によって形成される固体がアンチクレプシドラとしてわかります。画像では、青で強調表示されている領域です。この図を半径 r の球と比較したい場合、反クレプシドラの高さは 2r に等しくなければなりません。したがって、次のことを行う必要があります。
V = Vシリンダー– 2 Vコーン
それから：
Vシリンダー= πr²・h
h = 2r なので、次のようになります。
Vシリンダー= πr²・2r
Vシリンダー= 2 πr3
任意の円錐の体積は次のとおりです。
h は円錐の高さであり、この場合、高さが反クレプシドラの高さの半分であるため、その高さは空気に等しいと言う価値があります。
アンティクレプシドラの体積は次のとおりです。
アンチクレプシドラの体積がわかったら、それを球の体積と比較してみましょう。カヴァリエリの原理を使用すると、アンチクレプシドラは球と同じ高さ、つまり h = 2r であることがわかります。さらに、これらの幾何学的立体の断面を実行すると、球断面で形成される円周の面積が、アンチクレプシドラ断面で形成される王冠の面積と常に一致することを実証することができます。
2 つの幾何立体と交差する平面 α を解析することで、面積が等しいことを証明できます。
球と交差する場合、平面と球の交点は半径 s の円になります。この円の面積は次のように計算されます。
円= πs²
平面と反クレプシドラの交差点は、クラウンと呼ばれる領域を形成します。クラウンの面積は、大きい円の面積から小さい円の面積を引いたものに等しくなります。
クラウン= πr² – πh²
クラウン= π (r² – h² )
球の画像を分析すると、h、s、r を表す直角三角形があることがわかります。
r² = s² +h²
クラウン領域の r² を s² +h² に置き換えると、次のようになります。
クラウン= π (r² – h² )
クラウン= π (s² + h² – h² )
王冠= π s² =円
面積の測定値が同じで、図形の高さも同じであるため、球と反クレプシドラの体積は等しくなります。アンティクレプシドラの体積がわかっているので、球の体積を計算するには、同じ公式を使用できます。
こちらもご覧ください: 円周と円: 定義と基本的な違い