ピタゴラスの定理はのいくつかの分野の基礎であり、直角三角形を研究するための手段です。この定理によれば、直角三角形の 2 つの辺の寸法が分かれば、3 番目の辺の寸法を知ることができます。
サモスのピタゴラス – 紀元前 6 世紀に生きたギリシャの哲学者および数学者 – は、後に彼の名前が付けられたこの定理を実証した学者の 1 人でした。しかし、この貢献はピタゴラスの時代に限定されたものではありません。歴史を通じて、新しい数学理論により、無理数の作成や三角法の発展に定理を使用できるようになりました。
ピタゴラスの定理の公式は何ですか?
ピタゴラスの定理の公式は、斜辺の測度の 2 乗が脚の測度の 2 乗の合計に等しいことを証明します。
(斜辺の測定値)² = (片側の測定値)² + (反対側の測定値)²
したがって、ピタゴラスの定理を使用するには、各三角形の斜辺と脚を識別する必要があります。斜辺は 90° の角度の反対側であり、脚は 90° の角度を形成する側であることに注意してください。
例 1 : 以下の三角形 ABC の c の値を求めます。
)
辺 c が斜辺で、6 と 8 の辺が脚であることに注意してください。したがって、ピタゴラスの定理を使用すると、次のようになります。
\(c^2=6^2+8^2\)
\(c^2=36+64\)
\(c^2=100\)
\(c=\sqrt{100}\)
\(c=10\)
b)
辺 c が脚の 1 つであり、4 を測る辺がもう一方の辺、5 を測る辺が斜辺であることに注意してください。したがって、ピタゴラスの定理を使用すると、次のようになります。
\(5^2=c^2+4^2\)
\(25=c^2+16\)
\(25-16=c^2\)
\(c^2=9\)
\(c=\sqrt9\)
\(c=3\)
注意:前の例の項目 a) では、寸法 c は斜辺に対応しますが、項目 b) では、寸法 c は脚の 1 つに対応します。したがって、直角三角形を扱うときの最初のステップは、そのコンポーネントを区別することです。
ピタゴラスの定理のビデオレッスン
ピタゴラスの三角形
直角三角形は、その辺の寸法が整数である場合、ピタゴラスと呼ばれます。これらの数値は、(3、4、5)、(6、8、10)、(5、12、13)、(15、20、25) などのピタゴラス項を形成します。
すべての直角三角形がピタゴラスであるわけではないことに注意してください。下の三角形には、1.5 cm と 2 cm の脚と、2.5 cm の斜辺があります。
この違いにもかかわらず、ピタゴラスの定理はすべての直角三角形に当てはまります。
ピタゴラスの定理の証明
ピタゴラスの定理を証明するにはいくつかの方法があります。それらの 1 つは、補助図形の領域の幾何学的分析で構成されます。 a と b の長さの脚と c の斜辺を持つ直角三角形を考えてみましょう。したがって、私たちの最終目標は、c² = a² + b² と結論付けることです。
Figure を構築するには、次の手順に従います。
1. 脚 ae b 斜辺 c から 4 つの直角三角形を描きます。 (次の図では黄色で示されています)。
2. これらの三角形を、それぞれが水平線に対して次の角度を形成するように配置します: 0°、90°、180°、270°。
3. 外側が辺 c の正方形、内側が辺 b の正方形になるまで、三角形を近づけます。
一辺が c の大きな正方形は、4 つの直角三角形と辺が ba の小さな正方形で構成されていることに注意してください。したがって、最大の正方形の面積は次のように表すことができます。
大きい方の正方形の面積 = 4 x (各直角三角形の面積) + 小さい方の正方形の面積
図を構築すると、次のようになります。
最大の正方形の面積 = \(c^2\)
それぞれの直角三角形の面積 = \(\frac{ab}2\)
小さい方の正方形の面積 = \((ba)^2=b^2-2ba +a^2\)
したがって、より大きな正方形の面積の式に代入すると、次のように結論付けられます。
\(c^2=4×\frac{ab}{2}+b^2-2ba+a^2\)
\(c^2=2ab+b^2-2ba+a^2\)
\(c^2=a^2+b^2\)
ピタゴラスの定理と無理数
ピタゴラス学派は、数学、哲学、自然科学の研究のためにピタゴラスによって設立された科学的、哲学的、神秘的なコミュニティです。この学者グループは、数が万物の本質であり、世界は確立された比率によって形成されていると信じていました。彼らにとって、すべての数値は 2 つの整数間の比として記述できます。これは、今日私たちが有理数として知っているものです。
しかし、このピタゴラスの概念は、膨大な数の集合、つまり無理数を無視していました。このことは、「辺 1 の正方形の対角線の長さはどれくらいか?」という問題の研究で明らかになりました。
正方形はすべての角が 90°である図形であるため、対角線によって 2 つの直角三角形に分割され、脚の寸法が 1 で、斜辺の寸法が対角線に等しいことになります。したがって、ピタゴラスの定理を使用することが可能です。
x を、辺 1 の正方形の対角線の尺度とします。したがって、ピタゴラスの定理を適用すると、次のようになります。
\(x^2=1^2+1^2\)
\(x^2=1+1\)
\(x^2=2\)
\(x=\sqrt2\)
時が経つにつれて、新しいアイデアと数学的定式化が出現するにつれて、無理数は学者によって数字として認識され、受け入れられるようになりました。
三角法のピタゴラスの定理
ピタゴラスの定理は、三角形の辺と角度の関係を研究する数学の分野である三角法にも不可欠です。その応用例としては、正三角形の高さと面積を計算する式の構築が挙げられます。