空間幾何学は、空間内の幾何学的立体と幾何学を研究する数学の分野です。 3 次元の物体を使って幾何学を考えることは、私たちが住んでいる世界を理解しようとすることであるため、空間幾何学は3 次元の物体の形状を理解することを目的としています。
2 次元のオブジェクトに焦点を当てた平面幾何学は、空間幾何学の一連の概念の基礎であり、一方を習得することが他方を理解するために不可欠です。空間幾何学はプリミティブ要素から生じます。プリミティブ要素は定義がないためそう呼ばれます。それは、点、線、面、空間です。
原始的な要素に基づいて、一連の重要な概念を開発し、多面体や円体などの形状について学ぶことができます。それぞれの幾何学的立体には固有の公式があるため、これらの立体を知ることに加えて、体積と総面積の計算を理解することが重要です。
空間幾何学の基本概念
私たちが理解する必要がある最初の概念は、空間幾何学の基本的な要素です。定義はありませんが、私たちは直感的に認識できます。私たちは幾何学のすべての概念をそれらから得ました。原始要素は、線、点、平面、空間です。
光線、直線セグメント、偶数角度の概念はこれらの要素から生じます。これらに基づいて、幾何学的な立体、体積、総面積などのより高度な概念を定義することもできます。
したがって、これらの原始的な要素の表現を認識することから始めます。
ポイント
真っ直ぐ
フラット
空間
原始的な要素で考えると、点、直線、平面も平面幾何学のオブジェクトです。空間幾何学では、空間、つまり 3 次元の宇宙におけるこれらの要素の振る舞いを研究します。
空間幾何学図形
空間幾何学では、幾何学的立体が研究されます。最も研究されているものは、多面体と円形体の 2 つのグループに分けられます。
多面体
多面体は、多角形で形成された面で構成される幾何学的立体です。すべての多面体は、頂点、面、エッジで構成されます。
面は、幾何学的なソリッドを形成する多角形です。この場合、面はソリッドを形成する長方形です。エッジは、ソリッドの頂点を接続する直線セグメントです。また、エッジは多面体の面を形成する多角形の側面であることにも注意してください。頂点は、3 つ以上のエッジの会合によって形成される点です。
主な多面体は角錐と角柱です。ピラミッドには、底辺が三角形、四角形、五角形などがあります。最もよく知られているプリズムは立方体と直方体ですが、中には三角形や五角形の底面を持つプリズムもあります。
丸いボディ
丸いボディは、曲面を持つ幾何学的なソリッドであるため、頂点、面、またはエッジを持ちません。回転体としても知られる、主な丸い物体は、円柱、円錐、球です。
空間幾何学の公式
これらの幾何学的立体にはすべて、体積(V) と総面積(A t ) を計算するための特定の式があります。
プリズム
プリズムの場合、その底面積が形状によって異なる可能性があるため、総面積と体積は底面積に直接依存することがわかります。
V = A b h
A t = 2A b + A l
A b → ベースエリア
A l →サイドエリア
h→身長
ピラミッド
角柱と同様に、ピラミッドの底面は異なる場合があるため、体積は底面に直接依存します。
A b → ベースエリア
A l →サイドエリア
h→身長
シリンダー
円柱には常に円形の底面があるため、その総面積と体積は円柱の高さ (h) と半径 (r) のみに依存します。
V = πr²・h
t = 2πr ( r + h) の場合
円錐
同じく底面が円形の円錐の体積は、その高さと半径のみに依存します。ただし、その総面積を求めるには、円錐の母線を見つける必要があります。
したがって、円錐には 3 つの重要な公式があります。そのうちの 1 つは母行列 (g) を求めることであり、その他は他の多面体からすでに知られているもの、つまり体積と総面積の公式です。
g² = r² + h²
A t = πr (r+ g)
ボール
球の体積と総面積を計算するには、半径の値を知る必要があります。式は次のとおりです。
= 4πr²で
空間幾何学と平面幾何学の違い
平面幾何学で行われるすべての要素と研究は、空間幾何学の研究の基礎と準備として機能することを理解することが重要です。したがって、空間幾何学は2 次元である平面幾何学の拡張であるため、これらは完全に別個の「世界」ではありませんが、現在では 3 次元の宇宙で考えられています。
たとえばピラミッドを構築する場合、その底面は平面幾何学で研究される多角形で形成され、側面は三角形で形成されます。平面幾何学のこれらの要素を結合すると、空間幾何学で研究される幾何学的立体の構築が可能になります。したがって、両方は完全にリンクされています。 平面ジオメトリと空間ジオメトリの主な違いは、調査する次元の数です。
