プラトンの立体は、ギリシャの数学者であり哲学者であるプラトンの研究対象であったことからその名前が付けられました。彼は幾何学に基づいて宇宙を説明しようとして、次の 5 つの多面体に出会いました。
四面体。
正六面体。
八面体。
十二面体。
正二十面体。
これらはすべて正固体である、つまりすべての面が合同な多角形で形成されているという共通の特徴を持っています。これらの場合、頂点、面、エッジの数を関連付ける式であるオイラー関係 (V + F = A + 2) も適用されます。
プラトンの立体の概要
プラトン立体は 5 つあります。
四面体。
正六面体。
八面体。
十二面体。
正二十面体。
プラトンの立体は、次の 3 つの条件を満たす多面体です。
凸状である。
すべての面には同じ数のエッジがあります。
頂点は、同じ数のエッジの端です。
オイラー関係はプラトンの立体でも有効です。
プラトンの立体に関するビデオレッスン
正多面体
多面体は規則的であっても、そうでなくても構いません。多面体が正則であるとみなされるには、すべての合同なエッジと面が同じ多角形で形成されている必要があります。
立方体としても知られる六面体のような固体は、6 面すべてが正方形で形成され、すべてが互いに合同である、多面体の例です。プラトンの立体はすべて、三角形、正方形、五角形などの合同な多角形によって形成される合同な面を常に持つため、正多面体です。
プラトンの立体
幾何学的立体の研究には、特に、プラトンの立体またはプラトン立体として知られる幾何学的立体に基づいて周囲の世界を説明しようとしたギリシャの哲学者であり数学者であるプラトンを含む、数人の数学者の貢献がありました。
プラトンの立体は、四面体、六面体、八面体、二十面体、十二面体の5つです。プラトン立体であるためには、次の 3 つのルールを満たす必要があります。
この多面体は凸面でなければなりません。
すべての面に、合同なポリゴンで形成された同じ数のエッジが含まれている必要があります。
各頂点は、同じ数のエッジの終点である必要があります。
プラトンは、プラトンの各立体を自然の要素と関連付けようとしました。
四面体 → 火
正六面体→地球
八面体 → 空気
正二十面体→水
十二面体 → 宇宙または宇宙
以下に、プラトンの各立体の特徴を見てみましょう。
正四面体
正四面体は、接頭辞の四面体が 4 に対応するため、4 つの面があることからその名前が付けられた多面体です。正四面体の面はすべて正三角形で構成されています。
四面体はピラミッドの形をしています。面がすべて三角形なので、三角錐になります。正四面体には 4 つの面、4 つの頂点、6 つの辺があります。
正六面体または立方体
正六面体は多面体であり、 rがあることからその名前が付けられています。 六 face s は、16 進数の接頭辞が 6 に対応するためです。その面は正方形で形成されています。正六面体は立方体としても知られており、6 つの面、12 の辺、8 つの頂点があります。
八面体
八面体も多面体であり、接頭語の octa が 8 に対応するため、 8 つの面があることからその名前が付けられました。その面はすべて正三角形の形をしています。 8 つの面、12 のエッジ、6 つの頂点があります。
正二十面体
二十面体は20 の面を持つ多面体であり、イコサが 20 を指すことからその名前が正当化されます。二十面体の面は正三角形の形状をしています。正二十面体には 20 の面、30 の辺、12 の頂点があります。
十二面体
十二面体は、プラトンによって最も調和のとれた立体であると考えられています。接頭辞 dodeca が 12 に対応するため、合計 12 の面があり、その名前が正当化されます。その面は五角形で形成され、12 の面、30 のエッジ、20 の頂点があります。
オイラーの公式
プラトンの多面体はオイラー関係を満たします。オイラーは凸多面体の研究も行った数学者で、凸多面体の面の数 (F)、頂点の数 (V)、辺の数 (A) の間に関係があることに気づきました。
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V + F = A + 2 |
例：
正六面体には 6 つの面と 12 の辺があることがわかっているため、その頂点の数は次のようになります。
解決：
私たちは次のことを知っています:
V + F = A + 2
F = 6
A = 12
V + 6 = 12 + 2
V + 6 = 14
V = 14 – 6
V = 8