数値 z は複素数として知られており、z = a + bi の形式で表すことができます。複素数の集合は、負の数の根がこの集合に含まれていなかったため、実数の集合を拡張するために出現しました。これにより、虚数単位を表すのに i が使用され、i = √ -1 となり、複素数を使用した概念の開発や演算が容易になりました。
代数表現 a + biでは、a は実数部、b は虚数部として知られています。複素数の幾何学的表現があり、これはアルガン-ガウス平面としても知られる複素平面で発生します。複素数を表すもう 1 つの方法は、極形式としても知られる三角関数形式です。
複素数
数学が存在して以来、長年にわたり、数字に関する考え方は人間のニーズに適応し、発展してきました。数字の考え方により、いくつかの数値セットが登場しました。それらは次のとおりです。
いくつかの方程式を解くと、結果が負の数の根、つまり複素数が作成される前はどの集合にも属さない結果であることが判明しました。複素数の研究には、Giralmo Cardono、Gauss、Argand が大きく貢献しました。
複素数の代数形式
二次方程式を解こうとするとき、負の数の根が現れるのはよくあることです。たとえば、方程式 x² = -9 は実数のセットでは解がありませんが、複素数を使用すると、解が得られる可能性があります。その解決策を表現します。
負の数の根を含む方程式を解くには、次の表現を使用します。
したがって、方程式 x² = -9 を解くと、次のようになります。
この方程式には、複素数である x = 3i または x = -3i の 2 つの解があります。
すべての複素数 z は代数形式で表すことができます。
z = a + bi
a→実部
b → 虚数部
a と b は実数の集合に属します。
例：
3 + √-4 は複素数です。負の数の根は計算できないので、-1 の根を i で表します。 4 の根は 2 であることがわかっているため、この数値は次のように表されます。
z = 3 + 2i
a と b の値に応じて、複素数には 3 つのケースがあり、虚数、純粋虚数、実数のいずれかになります。
想像上の
数値は、実数部と虚数部がゼロ以外の場合、虚数とみなされます。
例:
a) z 1 = -1 – 3i
b) z 2 = 5 + i
c) z 3 = 2 – 4i
d) z 4 = -3 + 2i
純粋な想像上の
複素数は、実部がゼロに等しい場合、純粋な虚数になります。
例:
a) z 1 = 2i
b) z 2 = -3i
c) z 3 = 0.5i
d) z 4 = -4i
本物
複素数は、その虚数部がゼロに等しい場合に実数となります。
例:
a) 4
b) 2.5
c) √2
d) 7
複素数の演算
複素数のセットには明確に定義された演算があるため、それらの間で加算、減算、乗算、除算を実行できます。
2 つの複素数の加算
2 つの複素数 z 1と z を加算するには、 z 2 、実部を実部に加算し、虚部を虚部に加算するだけです。
データ: z 1 = a + bi e z 2 = c + di、次に z 1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
例：
z 1 = 3 + 5i e z 2 = 4 + i の場合、次のようになります。
z1 + z2 = (3 + 4) + (5 + 1)i
z1 + z2 = 8 + 5i
2 つの複素数の減算
z 1の減算を実行するには – z 2では、実数部から実数部を減算し、虚数部から虚数部を減算します。
例：
z 1 = 4 + 2i e z2 = 1 + 4i
z1 – z 2 = (4 – 1) + (2 – 4)i
z1 – z 2 = 3 – 2i
想像上の統一の力
2 つの複素数間の乗算を理解するには、まず虚数単位の累乗の計算方法を理解する必要があります。ご了承ください：
次の累乗を計算すると、結果が繰り返されることがわかります。
i 4 = i 2 · i 2 = (-1) (-1) = 1 → i 0
i 5 = i 2 · i 3 = (-1) (-i) = i → i 1
i 6 = i 5 · i = i · i = -1 → i²
i 7 = i 6 · i = (-1) · i = -i → i3
べき乗は循環的であるため、より高いべき乗を計算するには、単純に指数を 4 で割ります。この除算を実行すると、残りのオプション 0、1、2、または 3 があり、これらがべき乗の新しい指数になります。
例：
i 35 を計算します。
35 : 4 を割ると、8 · 4 = 32 より商が 8 になり、余りは 3 になります。
i 35 = i 3 = -i
複素数の乗算
2 つの複素数の乗算には、分配プロパティを適用します。
例：
(5 + 3i) (2 – 3i) の積を計算します。
(5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i – 9i² → i² = -1 であることがわかります。
(5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i – 9 (-1)
(5 + 3i) (2 – 2i) = 10 – 15i + 6i + 9
(5 + 3i) (2 – 2i) = 19 – 9i
複素数の共役
a + bi の形式で書かれた複素数の共役として、複素数 a – bi がわかります。共役を使用して 2 つの複素数の除算を計算します。
分数の分母に根を残すことはできないので、割り算を実行するには次のように計算します。
分母の根を取り除くために、分母の共役を乗算します。
例：
(6 – 4i) : (4 + 2i)
アルガンド・ガウス平面
アルガン・ガウス平面は複素平面としても知られ、複素数の表現にデカルト平面を適応させたものです。
複素数は、座標 (a,b) を持つアルガン ガウス平面上の点によって表されます。縦軸は数値の虚数部を表し、横軸は実数部を表します。
複素数の係数
実数と同様に、複素数の係数は原点からの距離に関連付けられます。平面上の表現を扱っているため、この距離はピタゴラスの定理によって求められます。
|z| で表される z のモジュールは直角三角形の斜辺であることに注意してください。したがって、次のことを行う必要があります。
例：
z = 3 + 2i の係数を計算します。
|z|² = 3² + 4²
|z|² = 9 + 16
|z|² = 25
|z| = √25
|z| = 5
複素数からの引数
複素数の引数として、水平軸とz の係数のフォローアップとの間に形成される角度がわかります。
したがって、z 引数として角度 θ arg (z) = θ の値がわかります。この角度の値を見つけるには、角度 θ のサインとコサインの値を分析します。
例：
z = 1 + √3i であることを前提として arg(z) を求めます。
まず |z| を計算し、次に角度のサインとコサインを求めます。
これらのコサインとサインの値を持つ角度は60 度であり、π/3 としても表すことができます。
三角関数または極形式
三角関数形式は、複素数の表現のもう 1 つの可能性です。複素数の極形式としても知られています。コサインとサインの公式を分析すると、実数部と虚数部を次のように書き換えることができます。
私たちはそれを知っています
z = a + bi の場合、次のようになります。
z = |z| cosθ + |z| sinθ 私
|z| を入れるその証拠に、数値の三角関数形式がわかります。
z = |z|(cosθ + i · sinθ)
例：
数値 z = 1 + 1i を三角関数形式で書きます。
三角関数形式で記述するには、z の引数と係数が必要です。
|z|² = 1² + 1²
|z|² = 1 + 1
|z|² = 2
|z| = √2
次に、角度のサインとコサインを計算してみましょう。
注目すべき角度の表を参照すると、見つかった値でサインとコサインを持つ角度は θ = 45 度であることがわかります。したがって、三角関数形式では次のようになります。
z = |z|(cosθ + i · sinθ)
z = √2(cos 45° + i · sin 45°)